Una expansión de la serie infinita para$e^e$.

Question

¿Cómo puede el $e^e$ ser expresado en una serie infinita con la mayor simplificación posible.

• Me escribió la serie de $e^x$ manteniendo $x$ $e$ y a partir de ahí he extendido también a todos los $e$ en esta expansión, ahora era cosa acerca de la expansión además, por el teorema del binomio, pero no soy capaz de entender cómo puedo usar el teorema del binomio aquí y cuánto puede ser simplificado en otra palabras, estoy tratando de escribir esta serie tan simple como la expansión de la $e$ , es posible y cómo se puede hacer.

• Cualquier ayuda será muy apreciada , gracias de antemano.

Answer 1

PS

Answer 2

Dejemos que $f(x)=e^x$ Luego$$f^{(1)}(x)=f^{(2)}(x)=...=f^{(n)}(x)=...=e^x, \forall x\in\Bbb R.$ $ Luego, aplicando el teorema de Taylor obtengamos -$$f(x)=f(0)+xf^{(1)}(0)+\frac {x^2}{2!} f^{(2)}(0)+...+\frac {x^n}{n!} f^{(n)}(\phi), 0\lt\phi\lt1.$ $ Luego obtendremos$$e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+...$ $ es decir,$$e^x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac {x^n}{n!}$ $ y por lo tanto,$$e^e=\sum_{n=0}^{\infty}\frac {e^n}{n!}$ $$$=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\sum_{i=0}^{\infty}\frac{n^i}{i!}}{n!}.$ $