demostrar que $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_n}{n^\beta} $ converge.

Question

Si converge la serie $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{an}{n^\alpha} $, para cualquier $\beta>\alpha$, demostrar que $\sum\limits{n=1}^{\infty}\frac{a_n}{n^\beta} $ también converge.

Supongo que se puede demostrar con el teorema de convergencia de Cauchy, pero yo no. ¿Además, no tengo ni idea cómo afrontar cualquier $\beta>\alpha$, debo compararlos con cero? Cualquier ayuda será apreciada.

Answer 1

Dirichlet prueba realmente hace el truco.

Reescritura de $\displaystyle\sum\limits_{n\geq1}\frac{an}{n^\beta}=\sum\limits{n\geq1}\frac{a_n}{n^\alpha}\times \frac{1}{n^{\beta-\alpha}}$

Las sumas parciales de $\displaystyle\sum\limits_{n\geq1}\frac{a_n}{n^\alpha}$ se limita por la asunción inicial y $\displaystyle\frac{1}{n^{\beta-\alpha}}$ es una secuencia decreciente que va a $0$.

Answer 2

Aplica Abel Discriminación a este problema.