Probando $(A \triangle B)\cup C = (A\cup C)\triangle (B\setminus C)$ utilizando el álgebra de conjuntos

Question

Intenté probar esta ecuación $(A\bigtriangleup B)\cup C=(A\cup C)\bigtriangleup(B\setminus C)$ por la elementalidad y el álgebra de conjuntos pero sin resultado. Veo que la igualdad se mantiene en los diagramas de Venn, y también lo he demostrado con tablas de verdad, pero me gustaría tener solución con álgebra de conjuntos o elementalidad. Agradecería cualquier indicación para resolverlo.

Esto es de Velleman's How to Prove It, capítulo 1 sección 4 ejercicio 13.

Solución con álgebra de conjuntos

Después de un tiempo machacando este ejercicio, se me ocurrió la siguiente solución:

$$(A\bigtriangleup B)\cup C=(A\cup C)\bigtriangleup(B\setminus C)\\ =((A\cup C)\cap (B\cap C^C)^C)\cup((B\cap C^C)\cap(A\cup C)^C)\\ =((A\cup C)\cap (B^C\cup C))\cup(B\cap C^C\cap A^C)\\ =(C\cup(A\cap B^C))\cup(B\cap C^C\cap A^C)\\ =C\cup(A\cap B^C)\cup(B\cap A^C)\\ =(A\bigtriangleup B)\cup C$$

Answer 1

Dejemos que $x\in (A\bigtriangleup B)\cup C$ . Entonces $x\in (A\bigtriangleup B)\setminus C$ o $x\in C$ . En el primer caso, $x\in A$ y $x\not\in B$ (así $x\in A\cup C$ y $x\not\in B\setminus C$ ) o $x\not\in A$ y $x\in B$ y $x\not\in C$ (así $x\not\in A\cup C$ y $x\in B\setminus C$ ). En el segundo caso, $x\in A\cup C$ y $x\not\in B\setminus C$ .

Dejemos que $x\in (A\cup C)\bigtriangleup(B\setminus C)$ . Queremos demostrar que si $x\not\in C$ entonces $x\in A\bigtriangleup B$ . Ahora, o bien $x\in A$ o $x\not\in A$ . En el primer caso, $x\in A\cup C$ así que $x\not\in B\setminus C$ así que $x\not\in B$ . En el segundo caso, tenemos $x\not\in A\cup C$ así que $x\in B\setminus C$ así que $x\in B$ .

Answer 2

He aquí una buena manera de demostrarlo descomponiendo los conjuntos en un diagrama de Venn

• $A \cup D \cup G \cup E$
• $B \cup D \cup G \cup F$
• $C \cup F \cup G \cup E$

Escriba la ecuación completa

$$((A \cup D \cup G \cup E)\bigtriangleup(B \cup D \cup G \cup F))\cup (C \cup F \cup G \cup E) = ((A \cup D \cup G \cup E)\cup (C \cup F \cup G \cup E))\bigtriangleup(B \cup D \cup G \cup F\setminus (C \cup F \cup G \cup E))$$

ahora sólo calculamos ambos lados hasta demostrar la igualdad

$$(A \cup B \cup G \cup E \cup F)\cup (C \cup F \cup G \cup E) = (A \cup C \cup D \cup G \cup E \cup F)\bigtriangleup(B \cup D \cup G \cup F\setminus (C \cup F \cup G \cup E))$$

$$A \cup B \cup C \cup G \cup E \cup F = (A \cup C \cup D \cup G \cup E \cup F)\bigtriangleup(B \cup D)$$

$$A \cup B \cup C \cup G \cup E \cup F = A \cup B \cup C \cup G \cup E \cup F$$

y como 3 conjuntos cualesquiera pueden descomponerse así, esto lo demuestra para todos los conjuntos.

Answer 3

Podemos mostrar la inclusión de conjuntos mutuos. Si $x\in (A \triangle B)\cup C$ entonces $x\in A\triangle B$ o $x\in C$ .

Si $x\in C$ entonces $x\in A\cup C$ y $x\notin B\setminus C$ para que $x\in (A\cup C)\triangle (B\setminus C)$ .

Supongamos entonces que $x\notin C$ . Entonces $x\in A$ o $x\in B$ pero $x\notin A\cap B$ .

Si $x\in A,\ x\notin B$ entonces $x\in A\cup B$ y $x\notin B\setminus C$ así que $x\in (A\cup C)\triangle (B\setminus C)$ .

Si $x\in B,\ x\notin A$ entonces $x\in B\setminus C$ y $x\notin A\cup C$ así que $x\in (A\cup C)\triangle (B\setminus C)$ .

Lo anterior muestra $(A \triangle B)\cup C\subseteq (A\cup C)\triangle (B\setminus C)$ .

Para la otra dirección, supongamos $x\in(A\cup C)\triangle (B\setminus C)$ :

Si $x\in C$ entonces $x\in (A\triangle B) \cup C$ .

Si $x\notin C$ entonces $x\in A\cup C \implies x\in A$ y $x\notin B\setminus C \implies x\notin B$ o $x \in B\setminus C \implies x\in B$ y $x\notin A\cup C \implies x\notin A$ .

En cualquier caso, tenemos $x\in (A\triangle B) \implies x\in (A\triangle B)\cup C$ .

Esto demuestra la inclusión de conjuntos mutuos.

Answer 4

He aquí una respuesta alternativa (y tardía) que utiliza la elementalidad, es decir, primero traducimos de la teoría de conjuntos a la lógica, y luego razonamos en el dominio de la lógica.

Utilizaremos la siguiente definición de $\Delta$ para cada $A$ , $B$ y $x$ $$ (0) \;\; x \in A \Delta B \;\equiv\; x \in A \not\equiv x \in B $$ También utilizaremos la siguiente regla lógica: $$ (1) \;\; P \not\equiv Q \;\equiv\; \lnot P \equiv Q $$

Empezando por el lado izquierdo de la ecuación original, para todo $x$ tenemos $$ \begin{align*} & x \in (A \Delta B) \cup C \\ \equiv & \;\;\;\;\;\text{"expand definitions of $\cup$ and $\Delta$"} \\ & (x \in A \not\equiv x \in B) \lor x \in C \\ \equiv & \;\;\;\;\;\text{"logic, to prepare for next step: change $\lor$ to $\Rightarrow$; (1)"} \\ & x \notin C \Rightarrow (x \notin A \equiv x \in B) \\ \equiv & \;\;\;\;\;\text{"logic: distribute antecedent of $\Rightarrow$ over $\equiv$"} \\ (*) \;\;\;\; & x \notin A \land x \notin C \equiv x \in B \land x \notin C \\ \end{align*} $$

Del mismo modo, para el lado derecho, para todo $x$ calculamos

$$ \begin{align*} & x \in (A \cup C) \Delta (B \setminus C) \\ \equiv & \;\;\;\;\;\text{"expand definitions of $\Delta$, $\cup$, and $\setminus$"} \\ & x \in A \lor x \in C \not\equiv x \in B \land x \notin C \\ \equiv & \;\;\;\;\;\text{"logic: (1); distribute $\lnot$ over $\lor$"} \\ (*) \;\;\;\; & x \notin A \land x \notin C \equiv x \in B \land x \notin C \\ \end{align*} $$

Dado que las fórmulas $(*)$ son idénticos, por extensionalidad esto demuestra la ecuación original.