Mínimo de una constante y una variable aleatoria

Question

Deje $X$ ser una variable aleatoria y yo ahora, supongamos por simplicidad que es uniformemente distribuida en $[0,1]$.

Ahora fix $t \in [0,1]$ y deje $Y_t$ ser la variable aleatoria $Y_t:=\min \{t,X\}$.

Tengo problemas de computación, por ejemplo, la densidad de

El cómputo de la cdf es fácil: De curso $P(Y_t \leq y)= 1- P(t>y,X>y)$. Ahora he intentado dividir este apartado como si $t$ sólo era variable aleatoria independientes de $X$ da $P(Y_t \leq y)=y$ si $y<t$ $1$ si $y\geq t$.

Sin embargo, creo que el tomar la derivada no es el adecuado, dado que $Y_t$ alcanza el valor de $t$ con probabilidad positiva. Por lo $Y_t$ parece ser una variable aleatoria que no es ni un discreto ni una variable aleatoria continua. Así que tal vez una densidad no tiene sentido.

Sin embargo, con el fin de ser capaz de calcular la expectativa y así sucesivamente, tendría una densidad. De hecho, supongo que todo se vuelve fácil si supiera en que el espacio de $Y_t$ vive. Sin embargo, tengo problemas de formalización. ¿Alguien puede ayudar.

Tal vez para la distribución uniforme todo es fácil directa de argumentos. Pero me gustaría ver un enfoque general que es válido para $X$ tener una distribución continua.

Answer 1

Su enfoque es correcto. La distribución de $Y_t$ es parte absolutamente continua con respecto a la medida de Lebesgue, y en parte discretos. Una notación formal para la distribución de $P_{Y_t}$ $Y_t$ es $$ \text{d}P_{Y_t}(x)=\mathbf{1}_{[0,t]}(x)\text{d}x+(1-t)\delta_t(\text{d}x). $$ Pero esto es sólo una notación. Más al punto, para cada subconjunto de Borel $B$, $$ P(Y_t\B)=\text{Leb}(B\cap[0,t])+(1-t)\mathbf{1}_B(t). $$ Y para calcular las expectativas, para cada acotado medible función de $u$, el uso de $$ E(u(Y_t))=\int_0^tu(x)\text{d}x+(1-t)u(t). $$ En el caso general, si $X$ tiene una densidad de $f_X$, se obtiene $\text{d}P_{Y_t}(x)=f_X(x)\mathbf{1}_{x<t}\text{d}x+P(X\ge t)\delta_t(\text{d}x),$ por lo tanto $$ P(Y_t\B)=P(X\in B\cap(-\infty,t))+P(X\ge t)\mathbf{1}_B(t), $$ y $$ E(u(Y_t))=\int_{-\infty}^tu(x)f_X(x)\text{d}x+u(t)\int_t^{+\infty}f_X(x)\text{d}x. $$

Answer 2

Didier y Yuval respuestas son las correctas manera formal para el cálculo de la expectativa.

De manera más informal: Un (puramente) variable aleatoria continua que toma valores en un intervalo (a decir [0,1]) tiene cero la probabilidad de tomar un valor concreto. Que es lo mismo que decir que la función de distribución es continuouos (normalmente piece-wise derivable), que es igual a decir que la función de densidad es una "verdadera" función (es decir, sin incluir los deltas de Dirac). Por el contrario, una variable discreta ha finito distinto de cero probabilidades de tomar una (discreto) conjunto de valores, y su función de distribución es discontinua, constante a trozos.

Un uniforme de la variable en [0,1] es claramente continua. Pero $Y_t$ tiene una probabilidad finita de tomar el valor de $t$, por lo tanto la densidad exhibirá una delta de Dirac allí, y la función de distribución tendrá una discontinuidad.

Por lo tanto, como Yuval señala, $Y_t$ puede ser visto como una mezcla (una combinación convexa) de dos variables aleatorias: un continuo (uniforme en [0,t]) y una variable discreta (una constante, en realidad, con valor de $t$). La mezcla de dos variables da una función de densidad que es la misma combinación lineal de las dos densidades (aquí un truncado uniforme, y una delta de dirac) (usted debe gráfico), y el mismo es (linealidad) para las expectativas.

Answer 3

Algunas distribuciones de probabilidad son discretos, algunos son continuos, y algunos no son ni. Si desea utilizar una integral-como fórmula para todos, puede utilizar la de Riemann-Stieltjes integral.

Alternativamente, cada "razonable" variable aleatoria (véase la discusión en los comentarios de abajo) es una combinación convexa de una variable aleatoria discreta (constituida por todos sus átomos, los puntos con probabilidad positiva) y una variable aleatoria continua (el resto). Sea lo que sea que usted está calculando es una combinación convexa de la misma cosa en dos partes, y en el segundo ya sabes cómo calcular cosas como expectativa.

Por ejemplo, supongamos que $0 \leq t \leq 1$. A continuación, $Y_t$ es una combinación convexa de la constante de $t$ r.v. (con una probabilidad de $1-t$), y de un uniforme de $[0,t]$ r.v. (con una probabilidad de $t$). De ahí su expectativa es $$(1-t)t + t(t/2) = t-t^2/2.$$