Contraejemplo para el teorema mal utilizado en la prueba de convergencia de series

Question

Tuve un examen de matemáticas no hace mucho y recibí mis resultados, estoy feliz con el resultado pero hay una pregunta para la que mi profesor me dio una explicación (para que no pierda puntos) pero aún así creo que mi razonamiento es bueno. Así que estoy pidiendo una justificación (/ contraejemplo).

Se trata de una prueba de convergencia para la serie:

$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin( \frac{-5}{n^2})}{n^2} $$

Lo cual dije que está convergiendo...

---

Comencé diciendo que:

$$ -1 \leq \sin(x) \leq 1$$

Y que:

$$\frac{-1}{n^2} \leq \frac{sin(\frac{-5}{n^2})}{n^2} \leq \frac{1}{n^2} \qquad \forall n \geq 1$$

Luego diciendo que dado que sabemos:

$$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{-1}{n^2} \rightarrow \text{Converge} $$

$$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} \rightarrow \text{Converge} $$

usando el "teorema del sándwich" (Nota que mi examen es en francés, así que dije el "teorema de la sandwich")

$$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{-1}{n^2} \leq \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin( \frac{-5}{n^2})}{n^2} \leq \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} $$

Podemos concluir que la serie converge.

---

Mi profesor dice que no puedo usar este teorema aquí, y yo digo que dado que ambos están convergiendo, el del medio no tiene más remedio que converger...sin importar el valor al que converja.

¿Por qué no puedo usar esto para probar que está convergiendo?

¿Hay algún contraejemplo a lo que estoy diciendo?

Sí, sé que el teorema llamado no es el correcto, pero el punto aquí es que sigo comparando las funciones en cada término $( \forall n \geq 1)$. Así que el contraejemplo debe tener eso en cuenta.

No es una comparación del límite, ni un teorema del sándwich en el sentido de que no quiero obtener un resultado (ningún valor), sino simplemente implicar que la serie está convergiendo.

Answer 1

Como se menciona en los comentarios y en las otras respuestas, el problema con tu respuesta es que aunque demuestra que no diverge hacia el infinito, aún podría divergir.

En cuanto a un contraejemplo, se puede demostrar que $\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}= \frac{\pi^2}{6}>1$

La suma $\sum\limits_{n=1}^{\infty} (-1)^n$ diverge ya que la secuencia de sumas parciales alterna entre $-1$ y $0$, nunca deteniéndose en una entrada repetida.

Entonces: $\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{-1}{n^2}\leq\sum\limits_{n=1}^K \frac{-1}{n^2}\leq \sum\limits_{n=1}^K (-1)^n\leq \sum\limits_{n=1}^K\frac{1}{n^2}\leq\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}$ para todo $K$, y las series a la izquierda y a la derecha convergen, sin embargo la del centro no lo hace.

---

En relación a tu edición y comentario reciente: añades que habías señalado en tu examen que $-\frac{1}{n^2}\leq \frac{\sin(\frac{-5}{n^2})}{n^2}\leq \frac{1}{n^2}$ para cada $n$.

En ese caso, entonces eso es precisamente lo mismo que decir que $|\frac{\sin(\frac{-5}{n^2})}{n^2}|\leq \frac{1}{n^2}$ para cada $n$, que es lo que querías hacer. Al hacerlo, puedes continuar notando que $\sum\limits_{n=1}^K |\frac{\sin(\frac{-5}{n^2})}{n^2}|\leq \sum\limits_{n=1}^K \frac{1}{n^2}$ para cada $K$ (ya que término a término los sumandos son comparables).

Notando que la serie con valores absolutos tiene entradas estrictamente positivas, se sigue que $\sum\limits_{n=1}^\infty|\frac{\sin(\frac{-5}{n^2})}{n^2}|\leq \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}$ y así $\sum\limits_{n=1}^\infty|\frac{\sin(\frac{-5}{n^2})}{n^2}|$ converge. (Esto se sigue del teorema ya que para cualquier serie donde todos los sumandos son positivos, la secuencia de sumas parciales es monótonamente creciente. Cualquier secuencia monótona acotada es convergente)

Por teorema, cualquier serie absolutamente convergente también será convergente (ver una demostración aquí). Por lo tanto $\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{\sin(\frac{-5}{n^2})}{n^2}$ también converge.

De hecho, para cualquier $f(n)$ tal que $-\frac{1}{n^2}\leq f(n)\leq \frac{1}{n^2}$ para todo $n$ la prueba es idéntica y también tendrá que $\sum\limits_{n=1}^\infty f(n)$ sea convergente.

Aun así, si yo fuera el que califica, esperaría escuchar las afirmaciones de los teoremas utilizados (que una serie de términos positivos acotada por arriba por una serie convergente es convergente, y que las series absolutamente convergentes son convergentes).

Podrías evitar parte de la dificultad de esto notando que $\sin(\frac{-5}{n^2})$ siempre es negativo y por lo tanto $-1\cdot\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{\sin(\frac{-5}{n^2})}{n^2} = \sum\limits_{n=1}^\infty -\frac{\sin(\frac{-5}{n^2})}{n^2}\leq \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}$ dado que $-\frac{\sin(\frac{-5}{n^2})}{n^2}$ siempre es positivo, evitando la necesidad de usar el teorema vinculado.

Answer 2

En primer lugar, es muy digno de mencionar que tu argumento sería correcto si solo notaras que el valor absoluto de $\frac{\sin\left(\frac{-5}{n^2}\right)}{n^2}$ está acotado por arriba por $\frac{1}{n^2}$, cuya suma converge absolutamente - tener valores absolutos limitados por una serie absolutamente convergente es suficiente. Básicamente, el hecho de que hayas incluido límites tanto positivos como negativos es suficiente para establecer el hecho deseado. Tu respuesta está definitivamente muy cerca de ser correcta, en cualquier caso y seguramente captura el espíritu de la respuesta.

De hecho, la afirmación que invocas:

Sea $f(n)\leq g(n)\leq h(n)$. Si $\sum f(n)$ y $\sum h(n)$ convergen, entonces también lo hace $\sum g(n)$.

es verdadera, aunque no trivial. Para bosquejar una prueba, dejando que $F(n)$, $G(n)$ y $H(n)$ sean las sumas parciales de las secuencias, mostramos fácilmente que si $a>b$ entonces $F(a)-F(b)

El problema con tu razonamiento es que estamos viendo la convergencia de sumas parciales - el teorema del apretón se aplicaría si pudieras acotar tu serie por dos series que convergen al mismo valor - sin embargo, como no convergen al mismo valor, simplemente has acotado las sumas parciales en algún intervalo - aún necesitamos preocuparnos por la posibilidad de que las sumas parciales oscilen. Aunque esto no ocurre, este hecho no es el teorema del apretón ni siquiera una consecuencia de él - y si realmente quieres el caso general, necesita una prueba.

Answer 3

Lo que dices no es cierto. El hecho de que una secuencia $\{x_n\}$ esté entre dos secuencias convergentes $\{y_n\}$ y $\{z_n\}$ no implica que la secuencia $\{x_n\}$ converja a menos que tanto $\{y_n\}$ como $\{z_n\}$ converjan al mismo límite.

Creo que lo que realmente querías decir era algo así:

Para todo $n\in \mathbb{N}:$

$$\left|\sum_{k=1}^{n} \frac{sin( \frac{-5}{k^2})}{k^2}\right|\leq \sum_{k=1}^{n} \left|\frac{sin( \frac{-5}{k^2})}{k^2}\right|\leq \sum_{k=1}^{n}\left|\frac{1}{k^2}\right|\leq \sum_{k=1}^{\infty}\left|\frac{1}{k^2}\right|\leq K$$

entonces $\sum_{k=1}^{n} \left|\frac{sin( \frac{-5}{k^2})}{k^2}\right|$ está acotada superiormente y por lo tanto $\sum_{k=1}^{\infty} \left|\frac{sin( \frac{-5}{k^2})}{k^2}\right|$ converge, es decir, $\sum_{k=1}^{\infty} \frac{sin( \frac{-5}{k^2})}{k^2}$ converge absolutamente y, por lo tanto, en particular, converge.

Answer 4

Usando los axiomas que utilizaste anteriormente, no puedes concluir que la secuencia original converja. Muy simplemente $\sum_{n=0}^\infty 1/n^2$ es positivo mientras que $\sum_{i=0}^\infty -1/n^2$ es negativo. Esto permite hipotéticamente que la secuencia pueda 'oscilar' en esta región y por lo tanto no converger. No has proporcionado nada que demuestre que esto no sucede.