¿Es un conjunto conectado en $\mathbb{R}^2$?

Question

Tengo este conjunto $B=A_1\cup A_2\cup A_3\cup {(0,0)}$ donde

$A_1={(x,y)\in \mathbb{R}^2, y>x^2}\A_2={(x,y)\in \mathbb{R}^2, 0<y x="">0}$</y>

Si supongo que el $B$ no está conectado, entonces existen dos conjuntos abiertos, separados $U,V$ $B$ $B=U\cup V$ y supongo que el $(0,0)\in U$ que

Si llamo $B$ veo que cualquier disco con centro (0,0) tiene una intersección no vacía con $A_i, i=1,2,3.$

Pero no puedo encontrar contradicción con el hecho de que el $U$ está abierto o con $U\cap V=\emptyset$

Gracias.

Answer 1

Sí, la unión está conectado y tiene la idea correcta. Desde $(0,0) \in U$ e las $A_i$ están conectados, y $A_i \cap U$ es no vacío, se debe seguir ese $A_i \subset U$$1 \leq i \leq 3$. Tratamos de probar este. Pero, a continuación, $V$ debe estar vacío.

Este es un caso especial de una declaración más general: si $X$ es un espacio topológico y $\{C_i\}_{i \in I}$ es una familia de conectado subespacios tales que $\bigcap_i C_i$ es no vacío, entonces $\bigcup_iC_i$ está conectado (tratar de comprobar). Básicamente, la aplicación de esta a los conjuntos de $C_i=A_i\cup\{(0,0)\}$$1 \leq i \leq 3$, para mostrar que la unión está conectado.

También puede probar directamente que el conjunto deseado es el camino-conectado.

Answer 2

Su objetivo es mostrar que $V = \emptyset$.

Para todos los $i=1,2,3$ $$A_i = (A_i \cap U)\cup(A_i \cap V)$ $ $A_i \cap U \neq \emptyset$ y $A_i \cap U, A_i \cap V$. Puesto que $A_i$ está conectado, usted tiene $A_i \cap V = \emptyset$.

Por último, $V = (A_1 \cap V) \cup (A_2 \cap V) \cup (A_3 \cap V) \cup ({ 0} \cap V) = \emptyset$.

Answer 3

Para todos los elementos $(x,y)\in B$ allí es el camino que conecta $(x,y)$ $(0,0)$.

Esto implica que $B$ es conectado por el camino y por lo tanto está conectado.

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En el contexto de su pregunta: sea que $B=U\cup V$ donde $U,V$ son disjuntos, abierto y no vacío.

Que $u\in U$ y $v\in V$% y dejó $p:[0,1]\rightarrow B$sea un camino con $p(0)=u$ y $p(1)=v$.

Entonces $[0,1]=p^{-1}(U)\cup p^{-1}(V)$ donde $p^{-1}(U)$ y $p^{-1}(V)$ están abiertos, disjuntos y no vacío.

Sin embargo esto contradice que $[0,1]$ está conectado.

Answer 4

Es trayectoria-conectado, por lo tanto conectado.

Bosquejo:

De hecho, para cualquier punto $M_i\in A_i\enspace (i\in {2,3}$, considere el $\gamma_M$ del arco de la parábola que pasa por y es tangente al $x$ eje en $O$ y para un $M$ $A_1$, la línea segmento $[MO]$. Cualquier % puntos $M, N\in B$puede conectarse siempre por la Unión de dos de estos caminos.