Yo puede construir fácilmente un ejemplo de suave tensor de campo de más de un colector de cuyo "rango" cambia dependiendo del punto. Mi idea se basa en la siguiente proposición elemental.
Insisto en que la noción de "rango" que se utiliza aquí es que la introdujo dentro de la pregunta original y no la norma.
La proposición. Considere la posibilidad de una $n$-dimensiones reales espacio vectorial $V$ y deje $e_1,e_2 \in V$ ser de un par de vectores linealmente independientes. El "enredados" tensor de $$e_1\otimes e_1 + k e_2 \otimes e_2$$ is of "rank" $2$ necessarily if $k\neq 0$, de lo contrario es de "rango" 1.
PRUEBA. Desde $e_1$ $e_2$ son linealmente independientes, hay una base $\{e_i\}_{i=1,\ldots,n}$ $V$ que contiene los dos.
Suponga $k\neq 0$. Si el tensor se fo rango 1, es decir,
$$e_1\otimes e_1 + k e_2 \otimes e_2= u\otimes v\quad (1)$$
como hemos $u= \sum_i u^i e_i$$v= \sum_j v^je_j$, (1) implicaría:
$$e_1\otimes e_1 + k e_2 \otimes e_2= \sum_{i,j=1}^nu^iv^j e_i\otimes e_j\quad $$ y así:
$$0= (u^1v^1-1) e_1\otimes e_1 + (u^2v^2-k) e_2\otimes e_2 + u^1v^2 e_1\otimes e_2 + u^2v^1 e_2\otimes e_1 + \sum_{i,j >2} u^iv^j e_i\otimes e_j\qquad (2)$$
Ya que, a su vez, $\{e_i\otimes e_j\}_{i,j=1,\ldots,n}$ es una base del espacio de tensores $V \otimes V$, (2) implica, en particular, que:
$$u^1v^1= 1\:, \:\:u^2v^2= k\:,\:\: u^1v^2=u^2v^1=0$$
multiplicando juntos las dos primeras condiciones se tiene:
$$u^1v^1u^2v^2 = k$$
mientras que los restantes implican:
$$u^1v^2u^2v^1 = 0$$
que están en contradicción a menos $k=0$. QED
Así que considera un liso (Hausdorff) colector de dimensión $n$ y una función suave $\chi: M \to \mathbb R$ que constantemente se alcanza el valor de $1$ en un conjunto abierto $U\subset M$ y suavemente se desvanece antes de llegar a la frontera de otro conjunto abierto $U' \supset U$. Tomando $U$ $U'$ lo suficientemente pequeño siempre podemos suponer que $U'$ es equipado con coordenadas locales $x^1,\ldots, x^n$. Bajo estas hipótesis definir el buen campo tensorial $\Xi$$M$, de fuga fuera de $U'$:
$$\Xi(p) := \chi(p)\left(\frac{\partial}{\partial x^1}|_p \otimes \frac{\partial}{\partial x^1}|_p + k(p) \frac{\partial}{\partial x^2}|_p \otimes \frac{\partial}{\partial x^2}|_p\right) $$
donde $k: M \to \mathbb R$ es una función suave que desaparece en algún lugar de $U$, pero no en todas partes.
El campo de tensores $\Xi$ es suave, bien definida sobre el conjunto de la $M$, pero cambia su "rango" tres veces: $0$ fuera $U'$, $1$ y $2$ dentro $U$, dependiendo de la elección de $k$.
Aunque este ejemplo es completamente matemático, creo que con un poco más de elaboración, algunos de significado físico, podría ser dado a mi ejemplo, al menos cuando el sistema de coordenadas se define en el conjunto de colector de dimensión $4$ y el de Lorenz. El tensor es simétrico y podemos asumir que $x^1$ es de carácter temporal Minkowskian de coordenadas de modo que $\partial_{x^1}$ podría definir el marco del resto de algunos continua cuerpo y $\Xi$ su esfuerzo-tensor de energía. Suponiendo que este sistema interactúa con algún sistema externo, incluso la conservación de baja $\nabla_a\Xi^{ab}= J_{ext}^b$ pueden ser impuestas en el orden no tiene una función constante $k$.
