Ayuda con la desigualdad básica (números complejos)

Question

Yo quiero probar

\begin{align} \lvert z\rvert &\geq \Re\{z\} \tag{1}\\ \lvert z\rvert &\geq \Im\{z\} \tag{2} \end{align}

Voy a empezar con $z=x+iy$, por lo que $$ \lvert z\rvert=\sqrt{x^2+y^2}\etiqueta{3} $$

Con el siguiente (supongo que es válida para los números complejos?) $$ \lvert z\rvert =\sqrt{z^2} \ffi \lvert z\rvert^2 =z^2 \etiqueta{4} $$

Puedo escribir \begin{gather} \lvert z\rvert^2=x^2+y^2 \tag{5} \end{reunir}

El uso de \begin{gather} \Re\{z\}=x \iff \Re\{z\}^2=x^2 \tag{6} \\ \Im\{z\}=y \iff \Im\{z\}^2=y^2 \tag{7} \end{reunir} Ahora puedo escribir \begin{gather} \lvert z \rvert ^2=\Re\{z\}^2 +\Im\{z\}^2 \tag{8} \end{reunir}

Estoy atascado aquí.

¿Cuál es el siguiente paso? O debo parar aquí y concluir algo de $(8)$?

Gracias!

Actualización: yo no estoy seguro, pero no deberíamos tener valores absolutos en $(1)$$(2)$, es decir, $\lvert z\rvert \geq \lvert \Re\{z\}\rvert$ y $\lvert z\rvert \geq \lvert\Im\{z\}\rvert$?

Answer 1

Tenga en cuenta que

PS

siempre son ciertas

De hecho, son verdaderas cuando$$\begin{cases}\lvert z\rvert=\sqrt{x^2+y^2}\ge x\\\\\lvert z\rvert=\sqrt{x^2+y^2}\ge y\end{cases}$ y para$x,y<0$ podemos cuadrar y obtener

PS

Como alternativa, tenga en cuenta que en forma polar las ecuaciones son equivalentes a

PS

Answer 2

Pista :

Como$\Im \{z\}$ es un número real, sabes que$\Im \{z\}^2 \geq 0$.

Answer 3

soy solo un principiante ... pero si la gráfica z en un plano argand (imag y y real en x) esa última expresión prueba Pythagorus thm y por lo tanto es obviamente un triángulo y qué sabemos acerca de los triángulos del tercer lado siempre es mayor que los otros dos entran en la descripción de la imagen aquí