Combinaciones lineales de medidas delta

Question

Consideremos el espacio de medidas complejas, regulares y de Borel sobre la recta real, dotado de la norma de variación total. Dentro de este espacio, me gustaría caracterizar el espacio de todas las combinaciones lineales complejas finitas de medidas Delta. En particular, ¿podríamos aproximar una medida con soporte compacto con combinaciones lineales de ese tipo? Quizá sólo sea posible en la topología de estrella débil... Gracias

Answer 1

También se puede aplicar "simplemente" Hahn-Banach. El espacio dual de $(C_0(\mathbb R)^*,w^*)$ es $C_0(\mathbb R)$ . Por lo tanto, para demostrar que las combinaciones lineales de las medidas Delta son $w^*$ -basta con comprobar que si una función $f\in C_0(\mathbb R)$ es tal que $\int f d\delta_a=0$ para cada $a\in\mathbb R$ entonces $f=0$ pero esto es obvio ya que $\int f d\delta_a=f(a)$ .

Answer 2

Las medidas de Dirac son puntos extremos del conjunto convexo de medidas de subprobabilidad $P\subset C_0(\mathbb{R})^*$ . Este conjunto es compacto en la $^*$ topología, por lo que por el teorema de Krein-Milman toda medida de probabilidad es una débil- $^*$ límite de combinación convexa finita de medidas delta de Dirac. Para más detalles, véase el ejemplo 8.16 ici .