Esto sólo tiene sentido si $V = F^m$ y $W = F^n$ donde $F = \mathbb R, \mathbb C, \mathbb Q$ o lo que sea el campo sobre el que haces tu álgebra lineal, así que voy a asumir que $v_i, w_i$ son $m \times 1$ y $n \times 1$ vectores columna.
Nótese que la multiplicación de matrices es bilineal por lo que el mapa $\phi\colon F^m \otimes F^n \to \mathbb M_{m,n}(F)$ que envía un tensor simple $v \otimes w$ a $vw^T$ está bien definida. De hecho, se trata de un isomorfismo: La base estándar de $F^m \otimes F^n$ es tomar todas las $e_i \otimes e_j$ donde $e_i$ tiene un $1$ en el $i^\text{th}$ fila y ceros en el resto y $e_i \otimes e_j$ se envía a $E_{ij}$ la matriz con a $1$ en el $(i, j)^\text{th}$ posición y cero en el resto. El $E_{ij}$ son la base de $\mathbb M_{m,n}(F)$ así que $\phi$ es un isomorfismo.
Ahora bien, si $t \in F^m \otimes F^n$ tiene rango $k$ entonces se puede escribir como $$t = v_1 \otimes w_1 + \cdots + v_k \otimes w_k$$ y la matriz $\phi(t)$ tiene un rango máximo de $k$ porque cada columna es una combinación lineal de las $v_i$ .
Por otro lado, si la matriz $\phi(t)$ tiene rango $k$ entonces deja que $v_1, \ldots, v_k$ ser una base para su espacio de columnas. Entonces no es difícil ver que existen vectores $w_1, \ldots, w_k$ tal que $\phi(t) = v_1w_1^T + \cdots + v_kw_k^T$ ( $w_i$ son sólo los coeficientes de $v_i$ cuando las columnas de $\phi(t)$ se escriben como combinaciones lineales de los $v_i$ ). Como $\phi$ es un isomorfismo $t = v_1 \otimes w_1 + \cdots + v_k \otimes w_k$ lo que significa que el rango de $t$ es como máximo $k$ .
Cada definición de rango es como máximo la otra, así que son iguales.
