Cómo se demuestra que el rango de un tensor de segundo orden es equivalente al rango de la matriz correspondiente.

Question

Oigo decir esto en muchos sitios pero no encuentro una prueba de ello en ningún sitio. Dejemos que $V$ y $W$ sean espacios vectoriales de dimensión $m$ y $n$ respectivamente. Entonces, para cualquier $t \in V \otimes W$ tenemos

$$t = v_1 \otimes w_1 + \cdots v_k \otimes w_k$$

El rango de $t$ se define como el menor número $r$ tal que $t$ puede escribirse como $r$ tensores simples, es decir, tensores de la forma $v\otimes w$ .

El tensor $t$ aparentemente corresponde a la matriz que es la suma de los productos exteriores. $$v_1 w_1^T + \cdots v_kw_k^T$$ y la definición del rango de $t$ coincide con el rango de esta matriz.

¿Puede alguien mostrarme una prueba de que estas dos nociones de rango coinciden o mostrarme dónde puedo ver una prueba?

Answer 1

Esto sólo tiene sentido si $V = F^m$ y $W = F^n$ donde $F = \mathbb R, \mathbb C, \mathbb Q$ o lo que sea el campo sobre el que haces tu álgebra lineal, así que voy a asumir que $v_i, w_i$ son $m \times 1$ y $n \times 1$ vectores columna.

Nótese que la multiplicación de matrices es bilineal por lo que el mapa $\phi\colon F^m \otimes F^n \to \mathbb M_{m,n}(F)$ que envía un tensor simple $v \otimes w$ a $vw^T$ está bien definida. De hecho, se trata de un isomorfismo: La base estándar de $F^m \otimes F^n$ es tomar todas las $e_i \otimes e_j$ donde $e_i$ tiene un $1$ en el $i^\text{th}$ fila y ceros en el resto y $e_i \otimes e_j$ se envía a $E_{ij}$ la matriz con a $1$ en el $(i, j)^\text{th}$ posición y cero en el resto. El $E_{ij}$ son la base de $\mathbb M_{m,n}(F)$ así que $\phi$ es un isomorfismo.

Ahora bien, si $t \in F^m \otimes F^n$ tiene rango $k$ entonces se puede escribir como $$t = v_1 \otimes w_1 + \cdots + v_k \otimes w_k$$ y la matriz $\phi(t)$ tiene un rango máximo de $k$ porque cada columna es una combinación lineal de las $v_i$ .

Por otro lado, si la matriz $\phi(t)$ tiene rango $k$ entonces deja que $v_1, \ldots, v_k$ ser una base para su espacio de columnas. Entonces no es difícil ver que existen vectores $w_1, \ldots, w_k$ tal que $\phi(t) = v_1w_1^T + \cdots + v_kw_k^T$ ( $w_i$ son sólo los coeficientes de $v_i$ cuando las columnas de $\phi(t)$ se escriben como combinaciones lineales de los $v_i$ ). Como $\phi$ es un isomorfismo $t = v_1 \otimes w_1 + \cdots + v_k \otimes w_k$ lo que significa que el rango de $t$ es como máximo $k$ .

Cada definición de rango es como máximo la otra, así que son iguales.