Probabilidad de una suma de variables aleatorias gamma independientes

Question

Supongamos que nos dicen que el peso de cada bola de goma (en centigramas) viene dado por la función de distribución gamma, con$α=25$ y$β=2$. Encuentre la probabilidad de que 100 bolas de goma superen el límite de un paquete estándar de$52g$.

Utilizo el teorema del límite central para normalizar a la variable aleatoria Z, y tengo la probabilidad de que sea alrededor de$0.42$, mientras que mi solución dice$0.0228$.

Answer 1

Vamos a tratar de evitar la confusión acerca de las parametrizaciones, centigrams vs gramos, y la aproximación normal.

Cuando se utiliza una distribución gamma, debe empezar por ser claro acerca de la parametrización. Usted parece ser el uso de $\alpha$ para el parámetro de forma y $\beta$ para el parámetro de escala. La tasa parámetro $\lambda$ es el recíproco del parámetro de escala: $\lambda = 1/\beta.$

Si $X_i$ son iid $\text{Gamma}(\text{shape} = \alpha = 25, \text{scale} = \beta = 2),$ a continuación, $T = \sum_{i=1}^{100} X_i \sim \text{Gamma}(\text{shape} = 2500, \text{scale} = 2),$ que puede ser visto por mirar en el momento en que la generación de funciones.

Vamos a usar centigrams todo. En el software estadístico R, es posible obtener exacta de las probabilidades asociados con una distribución gamma. Usted busca $$P(T > 5200) = 1 - P(T \le 5200) = 0.023819.$$

Esta probabilidad exacto (no el uso de una aproximación normal) se encuentra en R como sigue:

 alpha = 25;  beta = 2
 1 - pgamma(5200, 100*alpha, 1/beta)
 ## 0.023819

Observe que el segundo parámetro gamma en R es la tasa de interés. Entonces, ¿qué debo hacer para ser el 'answerbook respuesta' 0.02275 es precisa de unos tres lugares. (Supongo que se encuentra a partir de una normal la aproximación.) En el siguiente gráfico, el área que buscamos es bajo la gamma, densidad de la curva a la derecha de la línea vertical.

Answer 2

Asumiendo que usted está utilizando el $k,\theta$ parametrización dada en la página de la Wikipedia, a continuación, la media sería de $50$ centigrams y la varianza sería $100$ centigrams$^2$. Para $100$ muestras de la media sería de $50$ gramos y la varianza sería $1$ gramos$^2$. $52$ gramos serían $2$ desviaciones estándar por encima de la media. Esto le da una probabilidad de aproximadamente el $0.02275$ utilizando la distribución Normal.

Su solución se ve a la derecha. La respuesta que obtuvo sería correcto si la varianza se $100$ gramos$^2$, pero $10000$ centigrams$^2=1$ gramos$^2$.

---

Después de ver BruceET la respuesta, miré para ver si Mathematica también tenía la capacidad para calcular la distribución Gamma, y de hecho lo hace.

N[1 - CDF[GammaDistribution[2500, 2], 5200]] da $0.023819$

Sin embargo, ya que la respuesta en el libro coincide con la aproximación mediante la distribución Normal, supongo que quería que funcionó de esa manera.