¿Cuál es la función de distribución relativista correcta?

Question

Declaración General y Preguntas

Estoy tratando de averiguar la forma correcta de un modelo de velocidad/momentum función de distribución de la que es correcta en el relativista límite. Me gustaría determinar/saber dos cosas:

1. Hay una analítica para una anisotrópico relativista distribución de impulso (es decir, el relativista analógica de la bi-Maxwellian distribución)?
2. ¿Qué temperatura (es decir, la temperatura cinética) significa, en el límite relativista?
   • La temperatura no puede ser un invariante de Lorentz, se puede?
   • Ciertamente, no se puede invariante si el promedio de las partículas térmica energías corresponden a relativista térmica velocidades, correcto?
     • Entonces, ¿cómo puede un simple escalar la temperatura será un verdadero factor de normalización como un multiplicador de Lagrange en la de Maxwell-Jüttner de distribución, por ejemplo?
3. Extra: ¿existe una adecuada relativista versión de la $\kappa$ distribución (ver este arXiv PDF de referencia, o e-print número 1003.3532 si usted no confía en los enlaces)?

De fondo

Soy consciente de la de Maxwell-Jüttner de distribución de especies de la partícula $\alpha$, dada por: $$ f_{\alpha} \left( p \right) = \Lambda \ exp \left[ - \Theta_{0} \ m c^{2} \ \gamma \left( p \right) - \sum_{i=1}^{3} \Theta_{i} \ c \ p^{i} \right] $$ donde $\Lambda$, $\Theta_{0}$, y $\Theta_{i}$ son multiplicadores de Lagrange, $p$ es el momentum relativista, y $\gamma\left( p \right)$ es el factor de Lorentz. El $\Theta_{\nu}$ términos son 4-vector con componentes de las unidades de la inversa de la energía.

En el vacío límite, se puede establecer todos $\Theta_{i}$ $\rightarrow$ 0. Esto nos lleva a la forma canónica de la isotrópica relativista impulso función de distribución está dada por: $$ f_{\alpha} \left[ \gamma \left( p \right) \right] = \Lambda e^{ - \Theta_{0} \ m c^{2} \ \gamma \left( p \right) } $$ donde $\Theta_{0}$ se muestran¹ a ser la inversa de la temperatura.

El Problema

La definición de $\Lambda$, sin embargo, ha llevado a varios resultados, como se indica por Treumann et al. [2011]:

la correcta (no-angular-dependiente de parte de el) relativista térmica-distribución de equilibrio debería ser el modificado-Jüttner de distribución. (El ordinario de Maxwell-Jüttner función de distribución se deriva de la F. Jüttner, de 1911, que la obtuvo de la imposición de la invariancia traslacional en el impulso de espacio solamente.)

Un intento de⁴ se hizo derivar $\Lambda$ mediante la imposición de la invariancia de Lorentz en un sólo impulso espacio, ignorando las coordenadas espaciales de los que el volumen integral. Sin embargo, Treumann et al. [2011] tenga en cuenta que:

Esto no está justificado en absoluto, o se argumenta que las partículas son todos los confinados a un fijo de la caja que se ve afectada por la transformación de Lorentz y la invariancia. Sin embargo, el impulso y el espacio de configuración de elementos de volumen del producto de que forma el espacio de la fase de elemento de volumen, no son independientes, como hemos demostrado anteriormente. Incluso en este caso, de un determinado exterior de la caja, la partícula adecuado de los espacios de experiencia lineal de Lorentz contracciones cuando se ve desde el marco estático de el observador, es decir, de la caja-marco de la perspectiva. La consecuencia es que el extra adecuado factor de Lorentz $\gamma\left( p \right)$ en el espacio de la fase de elemento de volumen cancela garantizando y la restauración de la invariancia de Lorentz...

Ellos van a mostrar que la correcta multiplicadores de Lagrange son: $$ \Theta_{0} = \frac{ 1 }{ T } \\ \Lambda = \frac{ N^{0} }{ 4 \pi \ m^{2} T^{2} } \left[ 3 K_{2}\left( \frac{ m c^{2} }{ T } \right) + \frac{ m c^{2} }{ T } K_{1}\left( \frac{ m c^{2} }{ T } \right) \right)^{-1} $$ donde $N^{0}$ es el escalar parte de la partícula, la densidad de corriente de 4-vector (es decir, la densidad del número), $K_{i}(x)$ es el segundo orden de la función Bessel modificada, y $T$ es un escalar de la temperatura. Aviso no es un término adicional (es decir, $K_{1}(x)$) en el factor de normalización $\Lambda$, que es la razón por la que llamó a esto la modificación de Maxwell-Jüttner de distribución. Esto explica por la invariancia de Lorentz en el espacio de la fase de elemento, no sólo el impulso de espacio.

Lo que estoy buscando...

Independientemente de su exactitud, la función de distribución en Treumann et al. [2011] todavía sólo asume una distribución isotrópica y todavía estoy un poco confundido como la temperatura es sólo un escalar. En física del plasma, es más apropiado pensar en ello como una especie de pseudotensor derivados de la presión del tensor o 2ª momento de la función de distribución. Así que se supone que tengo que interpretar relativista de las temperaturas a través de la energía-impulso tensor o algo más? Ver más detalles acerca de la velocidad momentos aquí: http://physics.stackexchange.com/a/218643/59023.

En muchas situaciones, los plasmas puede ser descrito como un bi-Maxwellian o bi-kappa [por ejemplo, Livadiotis, 2015] velocidad de las funciones de distribución. El bi-Maxwellian está dada por: $$ f\left( v_{\paralelo}, v_{\asesino} \right) = \frac{ 1 }{ \pi^{3/2} \ V_{T \paralelo} \ V_{T \asesino}^{2} } \ exp\left[ - \left( \frac{ v_{\paralelo} - v_{o, \paralelo} }{ V_{T \paralelo} } \right)^{2} - \left( \frac{ v_{\asesino} - v_{o, \asesino} }{ V_{T \asesino} } \right)^{2} \right] $$ donde $\parallel$($\perp$) consulte las instrucciones en paralelo(perpendicular) con respecto a un cuasi-estática de campo magnético, $\mathbf{B}_{o}$, $V_{T_{j}}$ es el $j^{th}$ térmica velocidad (en realidad el más probable de la velocidad), y $v_{o, j}$ $j^{th}$ componente de la mayor parte deriva de la velocidad de la distribución (es decir, desde el 1 de velocidad de momento).

El bi-kappa función de distribución está dada por: $$ f\left( v_{\paralelo}, v_{\asesino} \right) = \left[ 1 + \left( \frac{ v_{\paralelo} - v_{o, \paralelo} }{ \sqrt{ \kappa - 3/2 } \ \theta_{\paralelo} } \right)^{2} + \left( \frac{ v_{\asesino} - v_{o, \asesino} }{ \sqrt{ \kappa - 3/2 } \ \theta_{\asesino} } \right)^{2} \right)^ {- \left( \kappa + 1 \right) } $$ donde la amplitud está dada por: $$ A = \left( \frac{ \Gamma\left( \kappa + 1 \right) }{ \left( \pi \left( \kappa - 3/2 \right) \right)^{3/2} \ \theta_{\paralelo} \ \theta_{\asesino}^{2} \ \Gamma\left( \kappa - 1/2 \right) } \right) $$ y donde $\theta_{j}$ $j^{th}$ térmica velocidad (también el más probable de la velocidad), $\Gamma(x)$ es la completa función gamma y podemos ver que la temperatura promedio está dado por: $$ T = \frac{ 1 }{ 3 } \left( T_{\paralelo} + 2 \ T_{\asesino} \right) $$ si suponemos una gyrotropic de distribución (es decir, muestra la simetría alrededor de $\mathbf{B}_{o}$, de modo que los dos componentes perpendiculares de un diagonalized de presión del tensor son iguales).

En resumen, yo preferiría una relativistically consistente bi-kappa de distribución, pero sería muy feliz con la bi-Maxwellian versión así.

Referencias

1. Israel, W. "Relativista de la teoría cinética de un gas simple," J. Math. Phys. 4, 1163-1181, doi:10.1063/1.1704047, 1963.
2. Treumann, R. A., R. Nakamura, y W. Baumjohann "Relativista de la transformación de fase-espacio de las distribuciones," Ann. Geophys. 29, 1259-1265, doi:10.5194/angeo-29-1259-2011 de 2011.
3. Jüttner, F. "Das Maxwellsche Gesetz der Geschwindigkeitsverteilung en der Relativtheorie," Ann. Phys. 339, 856-882, doi:10.1002/andp.19113390503, 1911.
4. Dunkel, J., P. Talkner, y P. Hänggi "en Relación con la entropía, Haar medidas y relativista canónica de las distribuciones de velocidad," Nuevos J. Phys. 9, 144-157, doi:10.1088/1367-2630/9/5/144, 2007.
5. Livadiotis, G. "Introducción a la sección especial sobre los Orígenes y Propiedades de Kappa Distribuciones: Estadística de Fondo y Propiedades de Kappa de las Distribuciones en el Espacio Plasmas," J. Geophys. Res. Física del Espacio de 120, 1607-1619, doi:10.1002/2014JA020825, 2015.

Answer 1

Creo que hacen que suene mucho más misterioso de lo que es. El relativista función de distribución es $$ f_p = \frac{1}{(2\pi)^3}\exp(-(\mu-u\cdot p)/T)\, $$ donde $u_\alpha$ es la 4-velocidad del fluido, $p_\alpha$ es el 4-momentum de la partícula, $T$ que es la temperatura y $\mu$ es el potencial químico. Esto es a veces llamada la Juttner de distribución, y se ha obvio generalizaciones a Bose-Einstein y Fermi-Dirac estadísticas.

Esta expresión es, obviamente, Lorentz-invariante ($u\cdot p$ es un escalar, y así se $\mu$$T$), se reduce a Boltzmann en el marco del resto del fluido, y es Galileo de invariantes para los que se mueven lentamente los líquidos.

Lo curioso de funciones de Bessel aparecer si intenta determinar la fugacidad $e^{\mu/T}$ en términos de la densidad, $n=N_0$ con $$ N_\mu = \int \frac{d^3p}{p^0} p_\mu f_p\, , $$ porque ahora su normalización factor contiene integrales sobre $\exp(-\sqrt{p^2+m^2}/T)$

Comentarios adicionales: Después de alguna insistencia por el OP me miré en el Treumann et al. de papel (que está disponible en el arxive, http://arxiv.org/abs/1105.2120). Al principio pensé que esto era sólo un innecesariamente complicado rederivació de conocidos los resultados, pero este no es el caso. El papel está mal. (Francamente, no es una buena señal si un documento que señala una falla importante en la teoría cinética relativista se publica en la sección de física de la arxive, y un geofísica diario.)

El documento comienza o.k., la observación de que desde $d^3xd^3p$ es invariante Lorentz, $f_p$ debe ser un escalar. Sin embargo, ellos escriben una función de distribución que está claro que no es un escalar, a menos que supongo que $T$ es el cero de los componentes de un vector. Incluso si eso se podría arreglar, el resultado es ni de derecha, porque no es Galileo invariante para pequeñas velocidades. Luego escribe un no-covariante de expresión para $N_\mu$. Si $f_p$ es un escalar, $d^3p p_\mu f_p$ no es un vector, y como resultado, su densidad de partículas de $N_0$ no se transforma como una densidad (escribí la correcta expresión anterior). Desde $N_0$ es malo, la normalización $\Lambda$ también es incorrecto.

Más Comentarios: Después de más de insistencia, un intento de responder a la pregunta original:

1) el original de La distribución de Boltzmann es anisotrópico si la velocidad del fluido $\vec{u}$ no es cero (la distribución es isotrópica en el líquido marco del resto), pero es de suponer que usted está buscando algo más general. La función de distribución de un fluido viscoso es anisotrópico ya en el marco del resto del líquido, $f_p=f_p^0 +\delta f_p$ con $$\delta f_p \sim \eta\sigma_{\alpha\beta}p^\alpha p^\beta,$$ where $\sigma_{\alpha\beta}$ es la relativista tensor de deformaciones. De manera más general, podemos parametrizar la función de distribución en términos de las corrientes y las tensiones. Esta es la versión relativista de Posgrado del 13 de momento el método, véase, por ejemplo, http://arxiv.org/abs/1301.2912. Las personas también han escrito modelos altamente anisotrópico de funciones de distribución, véase, por ejemplo, http://arxiv.org/abs/1007.0130 .

2) La temperatura es una magnitud escalar. Está relacionada con la energía cinética de cada partícula en el marco del resto. La energía cinética de la densidad es el 00 de componentes de un tensor, y se transforma en consecuencia.