grupo fundamental de la botella de Klein menos un punto

Question

Estoy intentando ver el grupo fundamental de la botella de Klein menos un punto sin éxito. Sé cómo resolver el toro menos un punto dando una retracción de deformación a la suma en cuña de dos círculos.

Mi solución del toro menos un punto:

Necesito ayuda.

muchas gracias

Answer 1

Tenemos dos representaciones de la botella de Klein como polígono fundamental. La primera es:

Y el segundo se forma cortando este polígono por la diagonal, volteando una pieza y volviéndola a unir para dar esencialmente dos planos proyectivos reales pegados:

Deberías ser capaz de ver que como complejos de CW y una celda de 2 unida según el diagrama, ambos forman la botella de Klein con género 2 no orientable.

Quitando un punto de esta 2-célula produce un espacio que la deformación rectacts en el 1-esqueleto, que en ambos casos obviamente forma la suma de cuña de dos círculos y el grupo fundamental es $\Bbb{Z} * \Bbb{Z}$ .

Veamos si podemos desarrollar algún tipo de intuición física al respecto. Si el punto (o por deformación, agujero) que eliminamos está en el lugar correcto, podemos incrustarlo en $\Bbb{R}^3$ para tener una intuición física.

Que luego forma

Y se puede ver con bastante facilidad que esto se deforma a:

Que obviamente tiene el grupo fundamental de $\Bbb{Z} * \Bbb{Z}$ ya que esta deformación se retrae sobre $S^1 \vee S^1$ .