Diferencia entre dos matrices definitivas positivas

Question

¿Alguien sabe cómo probar lo siguiente:

Supongamos que $A$ y $B$ son tanto positivos como definitivos y $A - B$ es semidefinido positivo.
Muestra que $B^{-1} - A^{-1}$ también es semidefinido positivo.

¡Realmente aprecio cualquier comentario!

Answer 1

$A \geq B$ implica que $I-A^{-1/2}BA^{-1/2} \geq 0$ y $A^{-1/2}BA^{-1/2} \sim A^{-1}B \sim B^{1/2}A^{-1}B^{1/2}$ y por lo tanto $I-B^{1/2}A^{-1}B^{1/2} \geq 0$ lo que implica $B^{-1}-A^{-1} \geq 0$ .