Encontrar máximo de $ad-bc$ $S^3$

Question

Uno de mis amigos me preguntó para encontrar el máximo de $ad-bc$ que $a^2+b^2+c^2+d^2=1$$a, b, c, d \in \mathbb{R}$.

Se me ocurrió la siguiente. Puede alguien por favor decirme si es un método razonable?

Deje $f(a,b,c,d)=ad-bc$. Desde gradiente de una función que da la dirección de máximo cambio en la función, el gradiente de la $f$ al máximo en $3$-esfera no debería tener ningún componente a lo largo de la superficie de la $3$-esfera. Es decir, el gradiente en el punto máximo es normal a la $3$-esfera.

Supongamos $f$ se lleva a su máximo en $S^3$$(x,y,z,w)$,$ \nabla f|_{(x,y,z,w)} =k (x,y,z,w)$, lo que da $x=w$, $y=-z$, $k=1$ o $x=-w$, $y=z$, $k=-1$.

Por lo tanto, $f(x,y,z,w)=x^2+y^2$ o $-x^2-y^2$ dependiendo de los dos casos. Pero $(x,y,z,w) \in S^3 \implies (x^2+y^2)=\frac{1}{2}$. Por lo tanto, el valor máximo de $f$$S^3$$\frac{1}{2}$.

Answer 1

Creo que tu solución está muy bien, aunque podría resolverlo sin recurrir a los multiplicadores de Lagrange.

Prueba alternativa: Por la desigualdad de AM-GM tenemos $$ad-bc\leq \vert a\vert\vert d\vert +\vert b\vert \vert c\vert\leq\frac{a^2+d^2}{2}+\frac{b^2+c^2}{2}=\frac{1}{2}.$$ The equality is attained, for instance, at $a=d=\pm\frac{1}{\sqrt 2}$ and $b=-c=\pm\frac{1}{\sqrt 2} $.

Answer 2

$$1-2(ad-bc)=(a^2+b^2+c^2+d^2)-2ad+2bc=(a-d)^2+(b+c)^2 \geq 0$$

Por lo tanto

$$1 \geq 2(ad-bc) $$

con igualdad si y solamente si $a-d=b+c =0$.