Deje $R$ ser (no campo) Atómica (https://en.wikipedia.org/wiki/Atomic_domain) y un MCD de dominio (https://en.wikipedia.org/wiki/GCD_domain) de característica cero. Deje $U(R)$ denotar el grupo multiplicativo de las unidades en $R$. Deje $G$ ser el grupo multiplicativo de la fracción de campo de $R$. Si $G/U(R)$ es un servicio gratuito de abelian grupo, entonces es cierto que $R$ es un UFD (única factorización de dominio) ?
Respuesta
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Paul
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Deje $B$ ser una base de $G/U(R)$ y elija $P\subset R$ tal que $P\rightarrow B, p\mapsto pU(R)$ es bijective. A continuación, todos los $r\in R$ puede ser escrito como
$r=u\cdot p_1^{e_1}\cdot\ldots\cdot p_n^{p_n}$, $u\in U(R)$, $p_k\in P$ pares distintos.
Esta factorización es única.
Los elementos $p\in P$ son los principales: supongamos $p$ divide a un producto de $rs$ de los elementos de $R$. A continuación, $rs=pq$ para algunos $q\in R$. Ya que uno puede obtener la factorización de $rs$ sustituyendo $q$ en esta ecuación por su factorización, uno ve que $p$ aparece en la factorización de $rs$. Por otro lado, se puede obtener la factorización a través de la combinación de la factorizations de $r$ e $s$, lo que muestra que $p$ deben aparecer en la factorización de $r$ o de $s$. En consecuencia, $p$ divide $r$ o $s$.
En total, esta muestra que $R$ es un UFD.
