¿Aproximación "Taylor" de una función, basada en 2 puntos de base en lugar de 1?

Question

Normalmente, cuando queremos aproximar una función $f(x)$ cerca de $x=a$ hacemos una aproximación de Taylor alrededor de $a$ :

$$f(x)\approx f(a)+f'(a)(x-a)+...$$

Sin embargo, ¿qué pasa si queremos aproximar una función $f(x)$ en el intervalo $[a,b]$ por una función de aproximación $g(x)$ donde requerimos lo siguiente:

1. A diferencia de la aproximación de Taylor, en la que sólo tenemos necesariamente que $g(a)=f(a)$ para algunos $a$ . Ahora necesitamos que dos puntos finales coincidan. Es decir, necesitamos $g(a)=f(a)$ y $g(b)=f(b)$

2. Lo ideal sería: g(x) debe ser simple, fácilmente integrable La precisión de los cálculos es la misma que la de la aproximación de Taylor, y permite grados arbitrarios de precisión. Preferiblemente polinómica.

3. Sólo nos importa la aproximación en el intervalo $[a,b]$ . Es decir, necesitamos $g(x)\approx f(x)$ en $x\in[a,b]$ sólo.

4. Nos importa si el integrales de $f(x)$ y $g(x)$ en $[a,b]$ son aproximadamente iguales para funciones arbitrarias $f(x)$ .

5. Además, la aproximación debería ser idealmente la "mejor" aproximación de su clase $\mathcal C$ . Por $\mathcal C$ Me refiero, por ejemplo, a la clase de funciones polinómicas de grado $n$ . Si queremos más precisión, podemos entonces aumentar $n$ . Estoy abierto a diferentes definiciones de "mejor", pero estoy pensando en algo como "la integral de $g(x)$ en $[a,b]$ debe ser el más parecido al de $f(x)$ en ese intervalo de todos los posibles g(x) de la clase $\mathcal C$ ".

¿Existe una técnica canónica, similar a la aproximación de Taylor, que satisfaga estos requisitos? ¿O satisfacer a algunos de ellos?

La aproximación más sencilla que se me ocurre es simplemente, $g(x)=A+Bx$ con $A,B$ tal que $g(a)=f(a), g(b)=f(b)$ . Esto determina una función única. Sin embargo, cuando añadimos un término cuadrático, ahora hay una cantidad infinita de funciones que satisfacen las condiciones de contorno, así que ¿cuál de ellas es la "mejor"?

Answer 1

Todo depende de lo que se entienda por "mejor". Una opción razonablemente buena de "mejor" es definir una métrica basada en una norma inducida por un producto interno de la forma

$$\langle f, g \rangle_w = \int_a^b f(x) g(x) w(x) \, dx$$

donde $w$ es una función llamada de peso, entonces define "mejor" como lo más cercano en esta métrica. En otras palabras, dado $f$ quiere minimizar

$$d(f, g)^2 = \| f - g \|^2 = \int_a^b (f(x) - g(x))^2 \, w(x) \, dx.$$

donde $g$ se encuentra en alguna clase de funciones.

Si la clase de funciones que te interesa es la de los polinomios, esto se puede resolver muy bien calculando la polinomios ortogonales $p_n(x)$ con respecto al peso $w$ utilizando Gram-Schmidt y luego usarlas para calcular la proyección de cualquier función sobre el subespacio de polinomios de grado máximo $n$ si normalizamos $p_n(x)$ (que tiene grado $n$ ) para tener una longitud $1$ entonces esta proyección viene dada por

$$f \mapsto \sum_{i=0}^n \langle f, p_i \rangle p_i.$$

El peso $w(x)$ le permite ajustar cuánto le importa que la aproximación sea cercana en cada punto del intervalo $[a, b]$ Si te importa cada punto por igual, puedes elegir $w(x) = 1$ en cuyo caso los polinomios ortogonales que se obtienen serán los Polinomios de Legendre hasta el escalamiento y un ligero cambio de variables. El esquema de aproximación resultante se denomina a veces Aproximación de Legendre ; véase por ejemplo este laboratorio de MATLAB .

Tenga en cuenta también que si $w(x) = 1$ entonces $\langle f(x), 1 \rangle$ es sólo la integral de $f$ Así que tan pronto como $n \ge 0$ esta aproximación tiene automáticamente la propiedad de tener la misma integral sobre $[a, b]$ como $f$ .

No hay garantía de que esta aproximación sea exacta en los puntos extremos, pero puedes ponderar cuánto te importan los puntos extremos modificando la función de peso para aumentar el peso de los puntos extremos, aunque esto puede dificultar el cálculo de los polinomios ortogonales resultantes. En los extremos se puede incluso añadir un función delta en los extremos, lo que equivale a considerar un producto interior modificado de la forma

$$\langle f, g \rangle = \int_a^b f(x) g(x) \, dx + C (f(a) g(a) + f(b) g(b))$$

donde el parámetro $C$ controla la importancia de los puntos finales en comparación con el resto del intervalo. Tenga en cuenta que preocuparse más por los puntos finales tiene el coste de hacer que la aproximación en el resto del intervalo sea peor, por lo que hay un compromiso.

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Quiero señalar que este procedimiento no es realmente análogo a la expansión de Taylor; entre otras cosas, se puede hacer incluso para una función que no es diferenciable, ya que implica el cálculo de integrales y no de derivadas. El sentido en el que la serie de Taylor da las "mejores" aproximaciones es como se obtiene cerrar arbitrariamente a un punto, no en una vecindad particular de un punto.

Answer 2

Este es otro enfoque. Una forma de pensar en la aproximación de una función $f(x)$ con un polinomio de Taylor de grado $n$ (en $x=a$ ) es que es el único $n$ polinomio de grado 3 $p_n(x)$ Satisfaciendo a $$p_n(a) = f(a)$$ $$p'_n(a) = f'(a)$$ $$p''_n(a) = f''(a)$$ $$\vdots$$ $$p^{(n)}_n(a) = f^{(n)}(a)$$

Piensa en esos requisitos como una especificación de lo que significa "mejor" en el contexto de un polinomio normal de Taylor. ¿Cuáles son las especificaciones equivalentes cuando se tiene dos ¿puntos?

Bien, supongamos que tenemos dos puntos $a$ y $b$ y queremos exigir que algún polinomio $P(x)$ satisface todo lo siguiente:

$$P(a) = f(a)$$ $$P'(a) = f'(a)$$ $$P''(a) = f''(a)$$ $$\vdots$$ $$P^{(n)}(a) = f^{(n)}(a)$$ $$P(b) = f(b)$$ $$P'(b) = f'(b)$$ $$P''(b) = f''(b)$$ $$\vdots$$ $$P^{(n)}(b) = f^{(n)}(b)$$

Es un conjunto de $2n+2$ y en general necesitaríamos un polinomio de $2n+1$ para satisfacer a todos ellos. Así que vamos a proponer una definición de trabajo de un polinomio de Taylor de dos puntos:

Definición: El polinomio de Taylor de dos puntos de orden $n$ es el único polinomio de grado mínimo que satisface la $2n+2$ requisitos anteriores.

El polinomio de Taylor de dos puntos de orden $0$ es sólo la interpolación lineal $L_{a,b}(x)$ entre los dos puntos $(a,f(a))$ y $(b,f(b))$ . Este polinomio pasa por los puntos correctos, pero no coincide con ninguna de las derivadas. Explícitamente, $$L_{a,b}(x)=f(a) + \frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)$$

Si quiere no sólo coincidir con el valores de $f(x)$ en $a$ y $b$ sino también la derivada $f'(x)$ en ambos puntos, entonces se necesita el polinomio de dos puntos de primer orden, que sería un polinomio de tercer grado. Cualquier polinomio de 3er grado que pase por $(a,f(a))$ y $(b,f(b))$ puede escribirse de la forma $$P(x) = L_{a,b}(x) + K(x-a)(x-b)(x-c)$$ donde los parámetros $K$ y $c$ se elegirá para cumplir los demás requisitos. En concreto, si tomamos la derivada de $P(x)$ obtenemos $$P'(x) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a} + K\left((x-a)(x-b) + (x-a)(x-c) + (x-b)(x-c) \right)$$ así que $$P'(a) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a} + K(a-b)(a-c)$$ y $$P'(b) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a} + K(b-a)(b-c)$$

por lo que tenemos que resolver el par de ecuaciones $$\frac{f(b)-f(a)}{b-a} + K(a-b)(a-c) = f'(a)$$ $$\frac{f(b)-f(a)}{b-a} + K(b-a)(b-c) = f'(b)$$ para $K$ y $c$ . El álgebra es desagradable pero bastante sencilla.

Si quieres igualar también las segundas derivadas, necesitarías un polinomio de 5º grado. No me atrevo a elaborar los detalles porque son bastante feos, pero el método se generaliza más o menos directamente.

Answer 3

Ya que no pides que la aproximación sea continua ¿por qué molestarse? Yo dividiría el intervalo $[a,b]$ en dos, $[a,b] = [a,\frac{a+b}{2}] \cup [\frac{a+b}{2} , b] $ y luego definir $$g|_{[a,\frac{a+b}{2})} (x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}2 (x-a)^2+...$$ $$g|_{(\frac{a+b}{2}),b]} (x) = f(b) + f'(b)(x-b) + \frac{f''(b)}2 (x-b)^2+...$$

por lo que en cada intervalo semiabierto aplico la aproximación de Taylor. Para concluir la construcción sólo hay que poner $g(\frac{a+b}2) $ igual al límite derecho o izquierdo, como prefieras.

Obviamente $g$ tendrá una discontinuidad en $\frac{a+b}2$ pero, sin embargo, satisface todas sus peticiones.