Función Morse con índices de sólo $0$ y $n$

Question

Q1: Si una función de Morse sobre una superficie lisa y cerrada $n$ -manifold $X$ tiene puntos críticos de sólo índice $0$ y $n$ ¿se deduce que $X\approx \mathbb{S}^n\coprod\ldots\coprod\mathbb{S}^n$ ?

Creo que la siguiente pregunta es esencial con respecto a la anterior:

Q2: Si $f$ es una función de Morse en una zona lisa cerrada y conectada $n$ -manifold $X$ que tiene puntos críticos de sólo índice $0$ y $n$ y $f(X)\!=\![a,b]$ puede un punto crítico del índice $0$ o $n$ se mapea en $(a,b)$ ?

Answer 1

Como mencionó Matt, una función Morse le da un manejar la descomposición .

En el caso conectado cuando $n>1$ La dualidad de Poincare te obliga a tener exactamente dos puntos críticos. La descomposición del asa significa entonces que se puede formar la variedad suave tomando dos $n$ -y pegándolos a lo largo de su límite.

En consecuencia, la respuesta real a su pregunta depende de lo que usted entienda por $\approx$ .

Si te refieres a un homeomorfismo, la respuesta es sí. Para sacar un martillo pesado, la conjetura de Poincare te dice que la resultante topológico colector tiene que ser el $n$ -esfera $S^n$ porque es $(n-1)$ -conectado.

Si te refieres al difeomorfismo, sospecho que la respuesta es no. Después de todo, este procedimiento de tomar dos discos y pegarlos a lo largo de un difeomorfismo de sus límites, que es lo que da la descomposición del asa, es también la forma en que Milnor produjo originalmente esferas exóticas .

Answer 2

Diga $M$ tiene $j$ componentes conectados y sólo tiene puntos críticos de índice 0 y $n$ entonces debe tener $j$ de cada índice. Probablemente también se puede obtener esto a partir de las desigualdades de Morse, pero una manera muy fácil de ver esto es porque la homología de $M$ puede calcularse a partir del complejo cuyo $k$ es el grupo de grado libre $\mathbb Z$ generado por los puntos críticos del índice $k$ . Entonces, como el complejo de la cadena es cero en grados $n-1$ o $n+1$ El $n$ La homología debe ser $\mathbb Z^m$ donde $m$ es el número de puntos críticos de índice $n$ . Pero un $n$ -manifiesto con $j$ los componentes deben tener $\mathbb Z^j$ para $n$ de la homología. De forma similar, utilizando la dualidad de Poincare (es decir, sustituyendo $f$ por $-f$ ), muestra que debe haber $j$ puntos críticos de índice 0 también.

Ahora $f$ restringida a cada componente conectada tiene exactamente dos puntos críticos y es un teorema de Reeb que cualquier colector de este tipo debe ser homeomorfo a $S^n$ . Una prueba fácil de esto se encuentra en la obra de Milnor Teoría Morse .