Sea $G$ sea un grupo abeliano finito, $G = \{e, a_{1}, a_{2}, ..., a_{n} \}$ . Demostrar que $(a_{1}a_{2}\cdot \cdot \cdot a_{n})^{2} = e$ .
Llevo bastante tiempo atascado en este problema. ¿Podría alguien darme una pista?
Gracias de antemano.
¿Automorfismo? ¿Qué es un automorfismo? Bueno, tú lo sabes, y yo lo sé, pero ¿crees que OP lo sabe?
Así pues, en el primer caso $a_{i}$ = $a_{i}^{-1}$ . $(a_{1}a_{2} \cdot \cdot \cdot a_{n})^{2} = (a_{1}a_{2} \cdot \cdot \cdot a_{n})(a_{1}a_{2} \cdot \cdot \cdot a_{n}) = (a_{1}a_{2} \cdot \cdot \cdot a_{n})(a_{1}^{-1}a_{2}^{-1} \cdot \cdot \cdot a_{n}^{-1}) = a_{1}a_{1}^{-1} \cdot \cdot \cdot a_{n}a_{n}^{-1} = e$
No, ese razonamiento no es correcto; por ejemplo, podría darse el caso de que $a_3=a_3^{-1}$ pero $a_4=a_5^{-1}$ et $a_5=a_4^{-1}$ . En otras palabras, los dos casos que he descrito anteriormente se refieren a cualquier solo dado $a_i\in G$ pero no hay razón para que cada $a_i\in G$ debería caer en el mismo caso.
Para explicarlo de otra manera, es falso que $$\bullet\quad\text{For every }a_i\in G,\,\,a_i\text{ is its own inverse.}$$ o $$\bullet\quad\text{For every }a_i\in G,\,\,a_i\text{ is not its own inverse.}$$ Puede haber alguna mezcla. Combina los dos argumentos que has pensado para cada caso y tendrás un argumento que funcionará en general.
Obsérvese que una pregunta en cierto sentido más natural es: "¿Cuál es el producto de todos los elementos de un grupo abeliano finito?". La pregunta dada da alguna información sobre este producto, a saber, que es un elemento de orden a lo sumo $2$ .
La respuesta a la pregunta más general viene dada por el siguiente resultado.
Teorema de Wilson en un grupo abeliano finito : Sea $G$ sea un grupo abeliano finito. Entonces el producto de todos los elementos de $G$ es igual a la identidad a menos que $G$ tiene exactamente un elemento $t$ de orden $2$ en cuyo caso el producto es $t$ . Para una prueba, véase, por ejemplo $\S 6$ de estas notas .
De hecho, se puede considerar la respuesta a la pregunta de la OP como 2/3 del camino hacia una prueba de WTFAG. Es decir, tomamos el producto de todos los elementos del grupo y observamos que los elementos que tienen un orden mayor que $2$ se producen por parejas $x,x^{-1}$ . Por lo tanto, el producto de todos los elementos de un grupo abeliano finito $G$ también es igual al producto de todos los elementos de $G[2]$ es decir, el producto de todos los elementos de orden como máximo $2$ . En un grupo abeliano, el subconjunto $G[2]$ es un subgrupo, por lo que el producto tiene orden $2$ y por tanto es cuadrada al elemento identidad $e$ , completando la respuesta a la pregunta del OP.
Pero ahora, en WTFAG: En primer lugar, si no hay elementos de orden $2$ entonces $G[2] = \{e\}$ verificando WTFAG en ese caso. En segundo lugar, si hay exactamente un elemento $t$ de orden $2$ entonces $G[2] = \{e,t\}$ y el producto de todos los elementos de $G[2]$ es igual a $t$ .
Para completar la demostración de WTFAG, hay que considerar el caso en que $G[2]$ tiene más de dos elementos. En mis notas, lo hago estableciendo primero la ALEGACIÓN de que $G[2]$ (o en realidad cualquier grupo finito en el que cada elemento es autoinverso) es isomorfo a un producto directo finito de copias de grupos de orden $2$ y, a continuación, utilizando algunos argumentos de recuento sencillos.
La ALEGACIÓN se deduce o bien de la teoría de la estructura para grupos abelianos finitos -- que se demuestra en el mismo conjunto de notas, pero sin embargo el énfasis en las notas está en el hecho de que en muchas aplicaciones, especialmente en teoría de números, el gran teorema de la estructura se puede evitar -- o bien del hecho de que un grupo en el que cada elemento tiene orden $2$ es necesariamente un espacio vectorial sobre el campo $\mathbb{F}_2$ de dos elementos (y entonces invocamos el teorema de la estructura para espacios vectoriales de dimensión finita). En realidad, preferiría tener una tercera prueba más elemental de este hecho. ¿Quizás alguien pueda sugerir una?
Además de la respuesta de Pete Clark, también hay una respuesta muy clara a la pregunta Cuál es el conjunto de todos los productos diferentes de todos los elementos de un grupo finito $G$ ? Así que $G$ no necesariamente abeliano . Pues bien, si un subgrupo 2-Sylow de $G$ es trivial o no cíclico, entonces este conjunto es igual al subgrupo conmutador $G'$ . Si un subgrupo 2-Sylow de $G$ es cíclico, entonces este conjunto es el coset $xG'$ del subgrupo conmutador, con $x$ la involución única de un subgrupo 2-Sylow.
$@$ Nicky: ¡1! Esta es una muy buena generalización del caso abeliano (que, de hecho, me había estado preguntando). ¿Tienes alguna referencia de dónde se discuten estos hechos?
@Pete: tengo que buscarlo, el autor fue el matemático húngaro J. Dénes. Véase también J. Dénes y P. Hermann, `On the product of all elements in a finite group', Ann. Discrete Math. 15 (1982) 105-109. El teorema también está relacionado con la teoría de los cuadrados latinos y los llamados mapas completos.
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Cada elemento tiene un inverso, y puedes reordenar los términos
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¿Puedo asumir $(a_{1}a_{2} \cdot \cdot \cdot a_{n})^{2} = e$ ¿es verdad? Si puedo, entonces $(a_{1}a_{2} \cdot \cdot \cdot a_{n})(a_{1}a_{2} \cdot \cdot \cdot a_{n}) = e$ . Si $ab = e$ entonces $b = a^{-1}$ . Así que $(a_{1}a_{2} \cdot \cdot \cdot a_{n}) = (a_{1}a_{2} \cdot \cdot \cdot a_{n})^{-1}$ . Entonces $(a_{1}a_{2} \cdot \cdot \cdot a_{n})(a_{1}a_{2} \cdot \cdot \cdot a_{n})^{-1} = e$ . Así $e = e$ ???
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@Jon: No puedes asumir que lo que intentas demostrar es cierto; eso conduce a un argumento circular.
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@ Arturo: Gracias por la aclaración :)