Si se supone que el Teorema de Rolle es verdadero, ¿no prueba eso el MVT?

Question

Si suponemos que el Teorema de Rolle es cierto es que es práctico para decir que también demuestra el MVT?

Mi razonamiento es que aunque el Teorema de Rolle es el caso especial cuando $f(a)=f(b)$ y la secante de la línea entre $(a,f(a))$ e $(b,f(b))$ es horizontal, no tiene que significar que usted puede 'rotar' y 'estirar' la función $f$ y por lo tanto 'estirar' y 'rotar' de la línea recta entre $(a,f(a))$ e $(b,f(b))$ así como la línea tangente a $(c,f(c))$ a mantener su simetría a la línea secante entre $(a,f(a))$ e $(b,f(b))$ a demostrar de esta manera que para la recta de intersección de los puntos de $(a,f(a))$ e $(b,f(b))$, debe haber un punto de $c$ a $[a,b]$ para que $f'(c)$ es paralela a la citada línea entre la $(a,f(a))$ e $(b, f(b))$?

Siento que esto podría explicarse mejor con algo como el álgebra lineal. No lo conozco lo suficientemente bien como para usarlo.

EDIT: Mi pregunta era tan claro como yo creía. Voy a intentar explicar de una manera diferente:

Para una función de $f$, si es diferenciable/continua sobre la $[a,b] $/$(a,b)$ etc. entonces no es una línea recta entre el $(a, f(a))$ e $(b,f(b))$. Puede rotar $f$ alrededor del origen hasta que esta recta es paralela al eje de las x. Por el Teorema de Rolle, debe existir una $c$ sobre la transformada $(a,b)$ tal que $f'(c)=0$ y por lo tanto existe al menos una línea tangente a $f$ a $(a,b)$ que es paralela a la secante de $(a,f(a))$ e $(b,f(b))$. A continuación, puede "deshacer" el original de la rotación de $f$ y saber que las líneas demostrado que existe por el Teorema de Rolle existir con las mismas simetrías con respecto a $f$, es decir, la MVT debe mantener incluso cuando la secante de la línea no es horizontal.

Answer 1

Una prueba de la MVT utilizado teorema de Rolle explícitamente.

Considere una función continua $f:[a,b]\to\Bbb R$ que es diferenciable en a$(a,b)$. Vamos a probar MVT, es decir, para demostrar que existe un punto de $c\in(a,b)$ tal que $f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$, suponiendo que el teorema de Rolle es cierto.

Definir una nueva función $g:[a,b]\to\Bbb R$ por $g(x)=f(x)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}x$. Compruebe usted mismo que $g$ es continua en a$[a,b]$ y diferenciable en a$(a,b)$. Compruebe también que $g(a)=g(b)$. Así que podemos aplicar el teorema de Rolle a la función $g$, para obtener un punto de $c\in(a,b)$ tal que $g'(c)=0$. Tenga en cuenta que la derivada de $g$ es $g'(x)=f'(x)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$. El punto de $c$ también satisface $f'(c)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=0$.

Answer 2

No necesitas ningún tipo de transformaciones lineales en $\mathbb{R}^2$; usted puede hacer esto mediante la sustracción de un polinomio lineal a partir de su función (que es, en sí mismo, una cizalla de mapa). Simplemente tome su función continua $f : [a, b] \to \mathbb{R}$ que es diferenciable en a$(a, b)$, y deje $g(x) = f(x) - \frac{f(b) - f(a)}{b - a} (x - a) - f(a)$. En particular, $f(a) = f(b) = 0$, y al aplicar el teorema de Rolle para encontrar $c \in (a, b)$ tal que $g'(c) = 0$, usted encontrará que $$f'(c) = \frac{f(b)- f(a)}{b - a}.$$

Answer 3

Dado que ninguna de las respuestas existentes explícitamente señalado su error:

Para una función f, si es diferenciable/continua sobre [a,b]/(a,b), etc. entonces no es una línea recta entre (a,f(a)) y (b,f(b)). Puede girar f alrededor del origen hasta que esta recta es paralela al eje de las x. [...]

No , usted no puede hacer esto! Puede aplicar el teorema de Rolle a cualquier derivable la función, pero la rotación de la gráfica de una función en el plano cartesiano no puede resultar en un gráfico de otra función, y mucho menos una función derivable. Esta es la razón por la edm se mencionó una de cizallamiento en los comentarios, porque un corte con un invariante de la línea vertical es realmente el tipo de transformación que preserve funciones diferenciables.

Answer 4

La verdad es que no. Theorum de Rolle es un caso especial de Legrange MVT. No al revés. Así al asumir theorum de Rolle, MVT no es probado automáticamente. Por supuesto utilizamos RT en la prueba MVT. Pero sólo porque theorum de Rolle es true, need'nt MVT.

Si te estás preguntando por qué utilizamos este caso especial para probar el MVT, es porque apareció primero theorum de Rolle.