Encontrando la suma de esta serie alterna con denominador factorial.

Question

¿Cuál es la suma de esta serie?

PS

Answer 1

Consejo: Tenemos$$e^{-x}=1-x+\frac{x^2}{2!}-\frac{x^3}{3!}+\cdots.$ $ Multiplica ambos lados por$x$ y diferénciate.

Answer 2

Alternativamente, escribe como:

$$1-\frac{1}{1!} +\frac{1}{2!} - \frac{1}{3!}... +\\ \left(-\frac{1}{1!}+ \frac{2}{2!} - \frac{3}{3!}...\right)$$

La primera línea es $e^{-1}$ y la segunda línea, después de la cancelación de términos, véase el es $-e^{-1}$

Más generalmente, si $$(z)_i = z(z-1)...(z-(i-1))$$ is the falling factorial, and $p(z) = a_0(z)_0 + a_1(a)_1 + ... a_k(z)_k$, entonces:

$$\sum_{n=0}^\infty \frac{p(n)}{n!} x^n = e^x (a_0 + a_1x + a_2x^2 + ... a_k x^k)$$

En este caso, $p(z) = 1 + z = (z)_0 + (z)_1$, por lo que

$$\sum_{n=0}^\infty \frac{n+1}{n!} x^n = e^x (1+x)$$

Y, en particular, para $x=-1$, $$\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n(n+1)}{n!} = 0$$

Answer 3

Tal vez uno pueda hacerlo sin usar series de potencias: $$ \begin{align} \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{n+1}{n!} &=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{n}{n!}+\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{1}{n!}\\ &=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n\frac{1}{(n-1)!}+\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{1}{n!}\\ &=\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^{k+1}\frac{1}{k!}+\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{1}{n!}\\&=0. \end {align} $$