Prueba por la inducción del trabajo de Bernoulli ' s desigualdad $ (1+x)^n \ge 1+nx$

Question

Yo estoy trabajando en conseguir la caída de las pruebas por inducción, y tenía la esperanza de que la comunidad me podrían dar información sobre cómo dar formato a una prueba de esta naturaleza:

Deje $x > -1$ $n$ ser un entero positivo. Demostrar la desigualdad de Bernoulli: $$ (1+x)^n \ge 1+nx$$

Prueba:

Caso Base: Para $n=1$, $1+x = 1+x$ por lo que la desigualdad se cumple.

La inducción de la Asunción: Supongamos que para algún entero $k\ge1$, $(1+x)^k \ge 1+kx$.

Inductivo Paso: debemos demostrar que $(1+x)^{k+1} \ge 1+(k+1)x$

Prueba de Paso Inductivo: $$\begin{align*} (1+x)^k &\ge 1+kx \\ (1+x)(1+x)^k &\ge (1+x)(1+kx)\\ (1+x)^{k+1} &\ge 1 + (k+1)x + kx^2 \\ 1 + (k+1)x + kx^2 &> 1+(k+1)x \quad (kx^2 >0) \\ \Rightarrow (1+x)^{k+1} &\ge 1 + (k+1)x \qquad \qquad \qquad \square \end{align*}$$

Answer 1

Lo que tienes es perfectamente aceptable. Los cálculos se podrían organizar un poco más cuidadosamente:

$$\begin{align} (1+x)^{k+1}&=(1+x)(1+x)^k\ &\ge(1+x)(1+kx)\ &=1+(k+1)x+kx^2\ &\ge1+(k+1)x\;, \end{align} $$

desde $kx^2\ge 0$. Esto completa el paso de inducción.

Answer 2

Esto se ve bien para mí. Sólo una pequeña nota en el formato de las desigualdades: combinar las desigualdades de terceros y cuarta $ $ (1 + x) ^ {k+1} \geq 1 + (k +1) x + kx ^ 2 > 1 + (k +1) x $$ así que no hay necesidad de la quinta línea. O incluso $$ (1 + x) ^ {k+1} = (1 + x) (1 + x) ^ {k} \geq (1 + x) (1 + kx) = 1 + (k +1) x + kx ^ 2 > 1 + (k +1) x. $$