¿Cuándo la multiplicidad geométrica de un valor propio es menor que su multiplicidad algebraica?

Question

Me quedé un poco chafado al descubrir que dos matrices distintas con propiedades diferentes pueden compartir el mismo característica polinomio ( $-\lambda^3-3\lambda^2+4$ ):

$A=\begin{pmatrix} 1 & 2& 2\\ -3 &-5 &-3 \\ 3& 3 & 1 \end{pmatrix} , B=\begin{pmatrix} 2 & 4& 3\\ -4 &-6 &-3 \\ 3& 3 & 1 \end{pmatrix}$

$A$ tiene una línea propia y un plano propio (y por tanto una base propia), mientras que $B$ tiene dos líneas propias (por lo que no tiene base propia). El valor propio repetido -2 de B corresponde a un espacio propio con base {(-1,1,0)}.

¿Cuándo la multiplicidad geométrica de un valor propio es menor que su multiplicidad algebraica (como en el caso B)? ¿Existen condiciones generales que haya que buscar?

Gracias.

Answer 1

La condición general es la presencia de un Bloques de Jordania .

Answer 2

Que yo sepa, no hay condiciones algebraicas necesarias y suficientes del tipo que podrías estar buscando.

Sin embargo, existen algunas condiciones de suficiencia; el teorema espectral (versión de dimensión finita) establece que si la matriz es simétrica real sus vectores propios forman una base ortonormal para el espacio del que la matriz hace un mapa, lo que implica que la multiplicidad algebraica y geométrica de los valores propios es la misma.

El resultado también puede ser extender las matrices normales, una matriz A se dice que es normal si A*A=AA* (A* denota la transposición conjugada de A). Si una matriz es normal, entonces es diagonalizable, lo que, según el teorema de la diagonalización, implica que los vectores propios de la matriz abarcan el espacio al que la matriz se dirige y desde el que se dirige. Dicho esto, probablemente sea más rápido calcular los vectores propios que calcular A*A y AA* con la esperanza de que A*A=AA* se cumpla...