En Tu es Una Introducción a los Colectores, una pregunta:
En cada punto de $p\in \mathbb{R}^3$, definir una función bilineal $\omega_p$ $T_p(\mathbb{R}^3)$ por: $$\omega_p(\underline{a},\underline{b})=\omega_p((a^1,a^2,a^3),(b^1,b^2,b^3))=p^3(a^1b^2-a^2b^1)$$ Para la tangente vetors $\underline{a},\underline{b}\in T_p(\mathbb{R}^3)$ donde $p^3$ es el tercer componente de la $\underline{p}=(p^1,p^2,p^3)$. Desde $\omega_p$ es una alternancia de bilineal de la función de $T_p(\mathbb{R}^3)$, $\omega$ es una 2-forma en $\mathbb{R}^3$. Escribir $\omega$ en términos de la norma base $dx^i\wedge dx^j$ en cada punto.
Entiendo que podemos escribir esto como $\omega=a_{ij}dx^i\wedge dx^j$, $a_{ij}=\omega(e_i,e_j)$ donde $e_1,e_2,e_3$ span $T_p(\mathbb{R})$. Con esto me parece que todas las constantes desaparecer aparte de $a_{12}$$a_{21}$, que conducen a: $\omega=p^3dx\wedge dy-p^3dy\wedge dx=2p^3dx\wedge dy$. En las soluciones, sin embargo, desde una corriente alterna en función de dos argumentos está completamente determinado por sus acciones en $w(e_{k},e_{l}),k<l$, Tu sumas sólo sobre$i<j$$\omega=p^3dx\wedge dy$.
Mi pregunta es, yo pensaba que si es o no una función multilineal es alterna, usted debería ser capaz de caracterizar por la alimentación de todas las combinaciones posibles de la base de elementos. Pero parece que en este caso conduce a una respuesta diferente. ¿Por qué es esto?
