Demuestre$||T^n||=||T||^n$ si$T\in B(H)$ es autoadjunto

Question

Deje que$H$ sea un espacio complejo de Hilbert y deje que$T\in B(H)$ sea autoadjunto. Ya he probado que$||T^{2^k}||=||T||^{2^k}$ para$k=0,1,2,\dots$.

Ahora tengo que demostrar la afirmación más general de que si$n\geq 1$,$||T^n||=||T||^n$.

Puedo escribir$T^{2^k}=T^n T^{2^k-n}$ para$1\leq n<2^k$. ¿Pero cómo discuto desde allí?

Answer 1

La norma y el radio espectral de un operador autoadjunto$T$ son los mismos. Y lo mismo ocurre con$T^k$ para$k=1,2,3,\cdots$. Asi que $\|T^n\|=r_{\sigma}(T^n)$. Por el teorema de mapeo espectral,$\sigma(T^n)=\sigma(T)^n$, que conduce al resultado deseado: $$ \ | T ^ {n} \ | = r _ {\ sigma} (T ^ n) = r _ {\ sigma} (T) ^ n = \ | T \ | ^ n. $$

Answer 2

Aquí su limitada operador $T$ es auto-adjunto. Ya que para simplemente limitada $T$, $T^*$ debe ser lineal y acotado. Además, se puede tomar de las relaciones $||T||$ $=$ $||T^*||$ , $(T^*)^*$ $=$ $T$.

Y $||T^2||$ $=$ $||TT||$ $=$ $||T^*T||$ $=$ $||TT^*||$ $=$ $||T||^2$ $=$ $||T^*||^2$.

De hecho, por la relación $||ST||$ $\leq$ $||S||$ $||T||$ y $||T||$ $=$ $||T^*||$, $||T^*T||$ $\leq$ $||T^*||$ $||T||$ $=$ $||T||^2$ $=$ $||T^*||^2$.

y el reverso de la desigualdad de la siguiente manera a partir de la relación

$||Tx||^2$ $= $ $\langle{Tx,Tx}\rangle$ $=$ $\langle{T^*Tx,x}\rangle$ $\leq$ $||T^*Tx||$ $||x||$ $\leq$ $||T^*T||$ $||x||^2$ y $||T^2||$ $\leq$ $||T^*T||$

Así $||T||^2$ $=$ $||T^*T||$ es decir,$||T||^2$ $=$ $||T^2||$

Ahora la rutina de la inducción matemática puede conducir al resultado requerido.