Dejemos que $K$ sea un campo. Encontrar un ideal de $K[x,y]$ que es máxima pero no principal. Demuestra tus afirmaciones.(Aquí estamos trabajando en un anillo conmutativo con $1\neq 0.$ )
Mi idea:
Elija $K=\mathbb{Q}.$ Entonces afirmamos que un ideal $I\subset K[x,y]$ que es máxima pero no principal es $I=(x,y)$ .
Primero demostraré que $(x,y)$ es un ideal primo de $\mathbb{Q}[x,y]$ . Sea $a,b\in (x,y)$ sea tal que $p=ab\in (x,y)$ . Cualquier elemento en $(x,y)$ va a ser de la forma $p=Ax+By$ donde $A,B\in \mathbb{Q}[x,y].$ Si $a'b'=0$ donde $a',b'$ son términos constantes de $a$ y $b$ respectivamente, ya que $\mathbb{Q}[x,y]$ es un dominio integral o bien $a'=0$ o $b'=0.$ Por lo tanto, o bien $a$ o $b$ es de la forma $Ax+By$ donde $A,B\in \mathbb{Q}[x,y]$ lo que a su vez significa que $a\in (x,y)$ o $b\in (x,y)$ .
Ahora bien, como $(x,y)$ es un ideal primo , $\mathbb{Q}[x,y]/(x,y)$ es un dominio integral. Ahora bien, si podemos demostrar que $\mathbb{Q}[x,y]/(x,y)$ es un campo, entonces hemos terminado. No estoy seguro de cómo mostrar esto. Si $1\in \mathbb{Q}[x,y]/(x,y)$ entonces podemos concluir que es un campo ¿no? Entonces, observa que $1-f(x,y)\in \mathbb{Q}[x,y]$ y $f(x,y)\in (x,y)$ entonces $1-f(x,y)+f(x,y)=1\in \mathbb{Q}[x,y]/(x,y)$ .
$(x,y)$ no es principal en $\mathbb{Q}[x,y]$ . Observe que $(x,y)=\{xp(x,y)+yq(x,y)| p(x,y),q(x,y)\in \mathbb{Q}[x,y]\}$ . Supongamos por contradicción que $(x,y)=(a(x,y))$ para algunos $a(x,y)\in \mathbb{Q}[x,y].$ Desde $x\in (a(x,y))$ debe haber $p(x,y)$ tal que $x=p(x,y) a(x,y).$ Desde el grado $x$ = grado $p(x,y)$ +grado $a(x,y)$ concluimos que $p(x,y)$ debe ser un polinomio constante. No sé cómo continuar desde aquí.
Además, si hay una prueba sencilla para este problema, por favor compártela conmigo. Gracias.
