Vale, supongo que tu primera pregunta va dirigida a mí. La respuesta es: localización del punto fijo. En mi artículo "Elliptic Gromov-Witten invariants and the mirror conjecture", se encuentra una fórmula para el potencial de género-1 (sin descendientes) de un objetivo semisimple. Se trata de un teorema, descubierto y demostrado por localización de puntos fijos cuando un toro actúa sobre el objetivo con puntos fijos aislados, y los invariantes de GW se entienden como equivariantes. Dado que la respuesta se expresa en datos de género 0 que tienen sentido para cualquier variedad semisimple de Frobenius, la extensión de la conjetura a todas esas variedades es inmediata. (La conjetura fue demostrada por Dubrovin-Zhang en el sentido de que mostraron que mi fórmula es la única candidata que satisfaría la relación de Getzler). El artículo mío por el que preguntas, "Semisimple Frobenius structures at higher genus", hace exactamente lo mismo que el artículo elíptico, pero para invariantes de GW de mayor género, primero sin, y luego con descendientes gravitacionales.
Después del hecho, hay una descripción más satisfactoria de cómo se pudo inventar esa fórmula. La conexión de Dubrovin de un manifiesto de Frobenius semisimple permite una solución fundamental asintótica (que se parece a la asintótica de fase estacionaria completa de las integrales oscilantes en la teoría del espejo). Su construcción ("la $R$ -matriz") está contenida en el lema clave de ese artículo sobre la elipse que he mencionado. Otra forma de interpretar esta solución es decir -en términos de conos lagrangianos anulados en espacios de bucles simplécticos como los objetos que describen la teoría del género 0 en lugar de las estructuras de Frobenius- que el cono lagrangiano anulado de una variedad de Frobenius semisimple es isomorfo al producto cartesiano de varios conos de este tipo correspondientes al espacio objetivo de un punto, y además, el isomorfismo se logra mediante transformaciones del grupo de bucles retorcidos: $$ L = M (L_{pt}\times \cdots \times L_{pt}).$$ La "misteriosa" fórmula de género superior conjetural dice simplemente que la misma relación persiste para los potenciales descendientes totales de la teoría de género superior: $$D \sim \hat{M} (D_{pt}\otimes\cdots\otimes D_{pt}),$$ donde los elementos del grupo de bucles están cuantizados, y la igualdad se sustituye por la proporcionalidad hasta una "constante central" no nula.
