$e^A=\lim_{j\to +\infty}(I+\frac{1}{j}A)^j$

Question

Me pregunto si esto es cierto:

$e^A=\lim_{j\to +\infty}(I+\frac{1}{j}A)^j$

Necesito ayuda

Muchas gracias.

Answer 1

Sí, es cierto. $${n \choose k} n^{-k} = \frac{n}{n} \frac{n-1}{n} \ldots \frac{n-k}{n} \frac{1}{k!}$$ (entendida como $0$ al $n < k$), lo que aumenta a$1/k!$$n \to \infty$. Así, en una matriz de norma, $$\|e^A - (I + A/n)^n\| \le \sum_{k=0}^\infty \left(\frac{1}{k!} - {n \choose k} n^{-k}\right) \|A\|^k $$ Para cualquier $N$, romper la suma en $k \le N$$k > N$. La parte de $k \le N$$0$, mientras que la parte correspondiente a la $k > N$ está delimitado por $\sum_{k > N} \|A\|^k/k!$, lo que puede hacerse arbitrariamente pequeña tomando $N$ grandes.

Esto funciona, por el camino, en cualquier álgebra de Banach.

EDIT: Ya que la etiqueta "diferenciales ecuaciones", yo podría nota que también se pueden interpretar esto como diciendo que el $n$-paso de aproximación de Euler para la solución de la homogénea constante coeficiente lineal del sistema converge a la solución como $n \to \infty$.