Convergencia uniforme de$\sum\limits_{n=1}^∞n^{-x}(e^{\frac{x}{n^2}}-1)$

Question

Convergencia puntual y uniforme de la siguiente serie de funciones: $$\sum_{n=1}^{\infty} n^{-x}\left(e^{\frac{x}{n^2}}-1\right).$ $

Ahora, la serie de funciones converge puntualmente como $x \in (-1, +\infty)$ , porque, como $n \to \infty$ , $$f_n(x)=\mathcal{O}\left(\frac{x}{n^{x+2}}\right). \quad \forall x\in \mathbb{R}$ $

Estoy teniendo algunos problemas con la convergencia uniforme porque no pude encontrar el supremo. ¿Alguna sugerencia?

Answer 1

$\def\e{\mathrm{e}}\def\peq{\mathrm{\phantom{=}}{}}$En primer lugar, desde$$ \frac{1}{n^x} \left(\exp\left( \frac{x}{n^2} \right) - 1 \right) \sim \frac{x}{n^{x + 2}}\quad (n → ∞) $$ para cualquier fija $x$, a continuación, $\displaystyle \sum_{n = 1}^∞ \frac{1}{n^x} \left( \exp\left( \frac{x}{n^2} \right) - 1 \right)$ converge iff $x + 2 > 1$, es decir, $x \in (-1, +∞)$.

A continuación, para demostrar que la serie no converge uniformemente para $x \in (-1, +∞)$, es suficiente para demostrar el siguiente lema.

Lema: Dado que $\{u_n(x)\} \subset C([a, b])$. Si $\displaystyle \sum_{n = 1}^∞ u_n(x)$ converge pointwise para $x \in (a, b]$, pero $\displaystyle \sum_{n = 1}^∞ u_n(a)$ diverge, entonces $\displaystyle \sum_{n = 1}^∞ u_n(x)$ no converge uniformemente para $x \in (a, b]$.

Prueba: Supongamos que $\displaystyle \sum_{n = 1}^∞ u_n(x)$ converge uniformemente para $x \in (a, b]$. Para cualquier fija $ε > 0$existe $N \geqslant 1$ tal que para cualquier $m > n \geqslant N$,$$ \left| \sum_{k = n + 1}^m u_k(x) \right| = \left| \sum_{k = 1}^m u_k(x) - \sum_{k = 1}^n u_k(x) \right| < ε, \quad \forall x \in (a, b] $$ lo que implica$$ \left| \sum_{k = n + 1}^m u_k(a) \right| = \lim_{x → a^+} \left| \sum_{k = n + 1}^m u_k(x) \right| \leqslant ε. $$ Por lo tanto $\displaystyle \sum_{n = 1}^∞ u_n(a)$ converge, una contradicción.

De vuelta a la pregunta. Desde que la serie diverge para $x = -1$, entonces no converge uniformemente para $x \in (-1, 0]$ por el lema, y no así para $x \in (-1, +∞)$.

Finalmente, se demostró que para cualquier $δ > -1$, esta serie converge uniformemente para $x \in [δ, +∞)$. Basta probar que para $-1 < δ < 0$.

Para $x \in [0, 2]$ e $n \geqslant 2$, tenga en cuenta que$$ e^{-t} - 1 \geqslant -t \Longrightarrow \e^t - 1 \leqslant t\e^t, \quad \forall t \in \mathbb{R} $$ por lo tanto\begin{align*} &\peq \sum_{k = n}^∞ \left| \frac{1}{k^x} \left( \exp\left( \frac{x}{k^2} \right) - 1 \right) \right| = \sum_{k = n}^∞ \frac{1}{k^x} \left( \exp\left( \frac{x}{k^2} \right) - 1 \right)\\ &\leqslant \sum_{k = n}^∞ \frac{1}{k^x} · \frac{x}{k^2} \exp\left( \frac{x}{k^2} \right)= \sum_{k = n}^∞ \frac{x}{k^2} · \left( \frac{1}{k} \exp\left( \frac{1}{k^2} \right) \right)^x\\ &\leqslant \sum_{k = n}^∞ \frac{x}{k^2} · \left( \frac{1}{2} \exp\left( \frac{1}{4} \right) \right)^x \leqslant \sum_{k = n}^∞ \frac{x}{k^2} \leqslant \sum_{k = n}^∞ \frac{2}{k^2}. \end{align*} Desde $\sum\limits_{n = 2}^∞ \dfrac{2}{n^2} < +∞$, entonces el dado de la serie converge uniformemente para $x \in [0, 2]$.

Para $x \in (2, +∞)$ e $n \geqslant 2$, tenga en cuenta que $\dfrac{1}{k} \exp\left( \dfrac{1}{k^2} \right) \leqslant \dfrac{1}{2} \exp\left( \dfrac{1}{4} \right) < 1$ para $k \geqslant 2$, por lo tanto\begin{align*} &\peq \sum_{k = n}^∞ \left| \frac{1}{k^x} \left( \exp\left( \frac{x}{k^2} \right) - 1 \right) \right| = \sum_{k = n}^∞ \frac{1}{k^x} \left( \exp\left( \frac{x}{k^2} \right) - 1 \right)\\ &\leqslant \sum_{k = n}^∞ \frac{1}{k^x} \exp\left( \frac{x}{k^2} \right) = \sum_{k = n}^∞ \left( \frac{1}{k} \exp\left( \frac{1}{k^2} \right) \right)^x \leqslant \sum_{k = n}^∞ \left( \frac{1}{k} \exp\left( \frac{1}{k^2} \right) \right)^2. \end{align*} Porque$$ \sum_{n = 2}^∞ \left( \frac{1}{n} \exp\left( \frac{1}{n^2} \right) \right)^2 = \sum_{n = 2}^∞ \frac{1}{n^2} \left( \exp\left( \frac{2}{n^2} \right) - 1 \right) + \sum_{n = 2}^∞ \frac{1}{n^2} < +∞, $$ a continuación, el dado de la serie converge uniformemente para $x \in (2, +∞)$.

Para $x \in [δ, 0)$ e $n \geqslant 1$, desde$$ \sum_{k = n}^∞ \left| \frac{1}{k^x} \left( \exp\left( \frac{x}{k^2} \right) - 1 \right) \right| = \sum_{k = n}^∞ \frac{1}{k^x} \left( 1 - \exp\left( \frac{x}{k^2} \right) \right) \leqslant \sum_{k = n}^∞ \frac{1}{k^δ} \left( 1 - \exp\left( \frac{d}{k^2} \right) \right), $$ y $\displaystyle \sum_{n = 1}^∞ \frac{1}{n^δ} \left( 1 - \exp\left( \frac{δ}{n^2} \right) \right) < +∞$, entonces el dado de la serie converge uniformemente para $x \in [δ, 0)$.

Por lo tanto, para cualquier $ε > 0$existe $N_1, N_2, N_2 \geqslant 1$ tales que\begin{gather*} \sum_{k = n}^∞ \left| \frac{1}{k^x} \left( \exp\left( \frac{x}{k^2} \right) - 1 \right) \right| < ε, \quad \forall n \geqslant N_1,\ x \in [δ, 0)\\ \sum_{k = n}^∞ \left| \frac{1}{k^x} \left( \exp\left( \frac{x}{k^2} \right) - 1 \right) \right| < ε, \quad \forall n \geqslant N_2,\ x \in [0, 2]\\ \sum_{k = n}^∞ \left| \frac{1}{k^x} \left( \exp\left( \frac{x}{k^2} \right) - 1 \right) \right| < ε. \quad \forall n \geqslant N_3,\ x \in (2, +∞) \end{reunir*} Tomando $N = \max(N_1, N_2, N_3)$ rendimientos$$ \sum_{k = n}^∞ \left| \frac{1}{k^x} \left( \exp\left( \frac{x}{k^2} \right) - 1 \right) \right| < ε. \quad \forall n \geqslant N,\ x \in [δ, +∞) $$ Así, el dado de la serie converge uniformemente para $x \in [δ, +∞)$.