¿Cómo son los espacios de clasificación de categorías algebraicas?

Question

Deje $\mathcal{C}$ ser una categoría. Recordemos que el nervio $N(\mathcal{C})$ de $\mathcal{C}$ es el conjunto simplicial obtenidos mediante la definición de $N(\mathcal{C})_k$ para el conjunto de la $k$-tuplas de que se puede componer morfismos en $\mathcal{C}$, junto con la obvia la cara y la degeneración de los mapas.

Para cualquier conjunto simplicial podemos asociar un CW complejo tomando su realización geométrica. Intuitivamente, esto significa que se debe reemplazar cada elemento de a$N(\mathcal{C})_k$ por $k$-dimensiones del triángulo (en el caso de $k = 0$ ser un punto), y pegado de acuerdo a la cara de los mapas.

En particular, se puede aplicar este procedimiento a los nervios de una categoría. Creo que el espacio resultante es a veces llamada la clasificación de espacio de su categoría. En cierto sentido, se puede pensar en el espacio como una tangible y forma geométrica para representar a su categoría, especialmente si la categoría que nos importa es pequeño. Esto me lleva a la siguiente pregunta.

Pregunta. ¿Qué hace la clasificación de espacio de una categoría $\mathcal{C}$ el aspecto $\mathcal{C}$ es un (esencialmente pequeños) algebraicas categoría? Es interesante mirar? Podemos describir su algebraicas invariantes, tales como el grupo fundamental o homología de grupos?

Por el bien de lo concreto, nos vamos a centrar específicamente en la categoría de todos los finitely grupos generados. Pero se sienten libres para pensar acerca de otros casos, como el de la categoría de finito conmutativa anillos. Más geométricamente personas de mente posible que desee pensar en la categoría de finito de tipo $S$-planes o de la categoría de suave colectores.

Nota. Las mencionadas categorías no son pequeñas, a pesar de que son esencialmente pequeños. Por supuesto, uno puede simplemente tomar el esqueleto de la esencia categoría pequeña para obtener una pequeña, así que el resultado de la clasificación de los espacios son conjuntos reales.

Lo he intentado. Un simple ejemplo sería tomar la categoría de todos los finitely generado abelian grupos, que tiene la ventaja de que admite una clasificación de niza. Escribir la definición de este "espacio" no es demasiado complicado, pero no pude encontrar una manera de simplificar la construcción, mucho menos pensar más complicado categorías como las descritas anteriormente.

Answer 1

Un famoso camino para hacer de este interesante es Quillen s $Q$-construcción, que implica la adopción de la clasificación de espacio de $Q\mathcal C$ en lugar de $\mathcal C$, donde $\mathcal C$ es suficientemente agradable subcategoría de un abelian categoría. $Q\mathcal C$ sustituye la habitual morfismos de $\mathcal C$ con "zig-zag" o "abarca" $A\leftarrow B\to C$, en el que la hacia la izquierda de la flecha es un epimorphism y la derecha de la flecha es un mono. Tal span identifica a $A$ con un subquotient de $C$. En $Q\mathcal C$, un objeto inicial $x$ debe ser únicamente un subquotient de cada objeto. Dado que la única subquotient de $0$ es $0$, $x$ tendría que ser $0$, pero $0$ admite al menos dos morfismos para cualquier objeto distinto de cero en $Q\mathcal C$: $0\leftarrow 0\to C$ e $0\leftarrow B\to B$. Del mismo modo, $Q\mathcal C$ no admite la terminal de objeto. Y, de hecho, en muchos ejemplos interesantes, $Q\mathcal C$ tiene una clasificación de espacio, el cual está muy lejos de contráctiles. Su homotopy grupos (identificado con el, después de un bucle) el algebraicas $K$-la teoría de los grupos de $\mathcal C$, que son sumamente importantes y difíciles de invariantes. Por ejemplo, cuando se $\mathcal C$ es finitely generado projectives más de un anillo de $R$, $\Omega|Q\mathcal C|$ ha homotopy grupos, comenzando con el grupo de Grothendieck $K_0(R)$ y el Bajo-Schanuel grupo $K_1(R)=GL_\infty(R)/E(R)$, donde $E(R)$ es el subgrupo de matrices elementales en el infinito lineal general grupo de más de $R$.

Answer 2

Eric Wofsey señaló en los comentarios que la existencia de una inicial o final objeto garantiza que la geometría realización será contráctiles. Quiero añadir una respuesta para demostrar que (al menos en retrospectiva) esto es intuitivamente evidente.

Lema. Deje $N(\mathcal{C})$ ser el nervio de una categoría $\mathcal{C}$. Supongamos $\mathcal{C}$ tiene un objeto inicial $x$. A continuación, para cada mapa de simplicial conjuntos de $\partial \Delta^n \to N(\mathcal{C})$ tal que el $0$-ésimo vértice de $\partial \Delta^n$ es enviado a $x$, existe una extensión para un mapa de $\Delta^n \to N(\mathcal{C})$.

De manera informal, esto puede ser visto de la siguiente manera. Un mapa de $\partial \Delta^n \to N(\mathcal{C})$ puede considerarse como una elección de objetos de $x,y_1,\ldots,y_n$ en $\mathcal{C}$, junto con los mapas de $x \to y_i$ para todos los $i$, y los mapas de $y_i \to y_j$ para todos los $i$ e $j$; los bordes y de mayores dimensiones de las caras de $N(\mathcal{C})$ garantizar commutativities entre estos mapas. Más precisamente, se asegura de que cada cadena de $x \to y_{i_1} \to \cdots \to y_{i_k}$ de la longitud de menos de $n$ coincidirá con el mapa de $x \to y_{i_k}$, y del mismo modo que las cadenas de $y_{i_1} \to \cdots y_{i_k}$ de la longitud de menos de $n$ coincidirá con la composición de la $y_{i_1} \to y_{i_k}$.

La existencia de una extensión de un mapa de $\Delta^n \to N(\mathcal{C})$ , esencialmente, nos pregunta si este conmutatividad resultado todavía es válido para las cadenas de longitud $n$. Bueno, sólo hay una cadena de esta longitud, es decir, $x \to y_1 \to \cdots \to y_n$. Será la composición de ser igual a la flecha $x \to y_n$? Bueno, sí, trivialmente así, debido a que $x$ es inicial! (Y, de hecho, el hecho de que $x$ es inicial es crítica aquí! Para convencerse de esto, intentar encontrar un contraejemplo para algunas bajas $n$, decir $n = 2$ o $n = 3$si $x$ no es inicial.) Q. E. D.

Ahora toma el geométrica realización del nervio $N(\mathcal{C})$. Respecto al objeto inicial como la base de su espacio. Geométricamente hablando, lo que hace un mapa de $\partial \Delta^n \to N(\mathcal{C}))$ corresponden a? Sería un mapa de los espacios de $S^n \to |N(\mathcal{C}|$. Entonces, ¿qué hace la extensión a un mapa de $\Delta^n \to N(\mathcal{C})$ significa? Esto significa que el mapa de los espacios de $S^n \to |N(\mathcal{C})|$ puede ser extendido a un mapa de $D^{n+1} \to |N(\mathcal{C})|$. Intuitivamente hablando, esto significa que sus espacios no admite ninguno de los orificios, y desde los espacios involucrados son todos los celulares complejos, puede hacer que precisa que esto es suficiente para que su espacio sea contráctiles.