¿Disminución de las raíces de $1+x/1!+x^2/2!+\cdots+x^{2n+1}/{(2n+1)!}$ $-\infty$?

Question

¿Hacer las raíces de <span class="math-container">$$P_{2n+1}(x)=1+\frac x{1!}+\frac{x^2}{2!}+\cdots+\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$$ decrease to <span class="math-container">$-\infty$</span>?</span>

¿Podemos mostrar esto? De hecho, <span class="math-container">$P{2n+1}(0)=1$</span> <span class="math-container">$P{2n+1}(-(2n+1)). Y <span class="math-container">$P{2n+1}'(x)=P{2n}(x)>0$</span>. <span class="math-container">$P_{2n+1}$</span> Tiene tan sólo una raíz <span class="math-container">$x_n$</span>. ¿Podemos mostrar que <span class="math-container">$x_n\to-\infty$</span>?</span>

Answer 1

Mediante el uso, por ejemplo, el de Weierstrass $M$-prueba, vemos que la secuencia converge uniformemente a $e^x$ en cualquiera limitada de dominio. En otras palabras, para cualquier $X< 0$, hay un $N\in \Bbb N$ tales que $$|P_{2n+1}(x) - e^x|<\frac{1}{2}e^X \leq \frac12e^x$$ for any $n> N, x\in [X, X]$. By the triangle inequality, this implies that $P_{2n+1}$ doesn't have any roots on $[X, X]$ for such $n$. So yes, $x_n\\infty$, as for any finite bound we can pick an $N$ which forces $x_n$ to be below that bound whenever $n>N$.

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El Weierstrass $M$-prueba es un muy bonito nombre para una bastante simple idea. Básicamente, supongamos que tenemos una colección de funciones $f_n$ para $n\in \Bbb N$ en algunas de dominio, y el dominio que el valor absoluto $|f_n|$ de cada una de esas funciones es limitado por un número $M_n$. Si $\sum M_n < \infty$, a continuación, $\sum f_n$ converge uniformemente.

En este caso, tenemos $f_n(x) = \frac{x^n}{n!}$, que en $[X, -X]$ está delimitado por $M_n = \frac{(-X)^n}{n!}$. A continuación, $\sum M_n = e^{-X}<\infty$, lo $\sum f_n$ converge uniformemente.