¿Es el campo de residuos de un cuerpo algebraicamente cerrado campo valorado algebraicamente cerrado?

Question

Es el residuo de campo de un algebraicamente cerrado con valores de campo $K$ con valoración anillo de $A$, algebraicamente cerrado?

Si tengo un polinomio $f(x)$ de $k_A$ desde $K$ es algebraicamente cerrado que tiene una raíz en $K$, decir $b$, por lo que la valoración de $f(b)$ es infinito y, en consecuencia, la valoración de $b$ debe ser infiinity ...

Answer 1

Usted quiere encontrar una raíz de $f$ donde $\deg f \geq 1$ es un polinomio en a$k_A$. No es un polinomio en a$K$ por lo que no puede decir que tiene una raíz en $K$. Sin embargo, cada coeficiente de $c_i$ de $f=\sum \limits_{i=0}^d c_i X^i$ es el residuo de algún elemento $a_i$ de $A$. Vamos a elegir tales elementos $a_i$ y considerar la posibilidad de $P=\sum \limits_{i=0}^d a_i X^i$. Este tiene un grado $\deg f \geq 1$ por lo que debe tener raíces en $K$. Se puede justificar que cada raíz de $P$ se encuentra en $A$? En este supuesto, la fijación de tal raíz de $b$, es fácil ver que $f_A(\overline{b})=\overline{P(b)}=\overline{0}$ donde $x \in A$, me denotar el residuo de $x$ por $\overline{x}$. Por lo $k_A$ es de hecho algebraicamente cerrado.