Si tenemos una familia de cuadrados de tal manera que la suma de sus áreas sea infinita, ¿podemos armar el plano con ellos?

Question

Deje $\{S_{i}\}_{i \in \mathbb{N}}$ ser una familia de cuadrados, tales que la Suma de las áreas de $S_{i}$s es infinito. Podemos azulejo el avión $\mathbb{R}^{2}$ con estas plazas?

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Tenga en cuenta que usted puede moverse libremente plazas en el avión pero no debe superponerse.

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permítanme parafrasear a mi pregunta, se le da $\{Ai\}_{i\in \mathbb{N}}$ una secuencia de números, donde cada una de las $A_{i}$ es positivo tal que $\sum_{i=1}^{\infty}A_{i}=\infty$. Hay un laboreo del avión con el conteo del número de plazas que el área de la i-esima cuadrado es $A_{i}$?

Answer 1

No, las plazas asociadas con algunas secuencias no azulejo $\mathbb{R}^{2}$.

En particular, la secuencia de $A_i$ = $2^{2i}$ falla.

Tenga en cuenta que si $a_1$, $a_2$, ..., $a_k$ e $b_1$, $b_2$, ..., $b_h$ son de distintos conjuntos de números enteros, a continuación, $\sum_{r=1}^{k}$ $\sqrt{A_{a_r}}$ $\neq$ $\sum_{s=1}^{h} $$\sqrt{A_{b_s}}$. Es decir, la suma de los lados de cualquier conjunto de plazas que no es igual la suma de los lados de cualquier otro conjunto.

El cuadrado más pequeño debe ir a algún lugar y algún otro de la plaza se debe a su lado. Al lado de la otra plaza se superponen en el lado de la primera en la parte superior o inferior, o ambos. El mejor de los casos, de una sola superposición se muestra en la siguiente figura. Las plazas no están a escala.

Otra plaza debe caber en el otro lado del cuadrado más pequeño. El mejor de los casos , la superposición de la parte inferior, se muestra a continuación.

Algunos cuadrado, D, debe caber en el lado derecho de la plaza que me han marcado B. Si se superpone a la parte inferior de la plaza B, el espacio entre C y D no puede ser llenado con cualquier combinación de los cuadrados. Así que si el mosaico es para trabajar, D debe sobrepasar la parte superior de la B.

Lo de la plaza o plazas que se colocan en la parte superior de la B, el de la izquierda deberá sobresalir de la creación de un unfillable brecha entre la a y la F.

Answer 2

Ejemplo: para $i \in \mathbb N$ deje que $S_i$ sea ​​el cuadrado abierto con las esquinas $(i-1,0), (i,0),(i,1)$ y $(i-1,1)$ .