Irreductibilidad del polinomio $x^3-y^2$

Question

Me dijeron que

$x^3-y^2$ es irreducible en $\Bbb C[x,y]$ .

Pero realmente no puedo dar un argumento sólido. Supuse que podría ser factorizado como $g_1, g_2$ y consideré aquellos monomios divisibles por $y$ . Pero las posibles cancelaciones lo hacen difícil.

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EDIT: Pensamientos:

Supongamos que $(x^3-y^2)$ es reducible en $k[y][x] \cong k[x,y]$ entonces se factoriza como un polinomio en $x$ sobre el anillo $k[y]$ . Como el grado es $3$ debe existir una factorización monomial. Por lo tanto, existe una solución polinómica $x=P(y)$ , lo cual es imposible.

Answer 1

Una variante :

Equivale a mostrar $y^2-x^3$ es irreducible. Si no lo fuera, se factorizaría como el producto de dos factores lineales en $y$ : $(y-p(x))(y-q(x))$ . Expandiendo, obtenemos por identificación $$p(x)q(x)=-x^3, \qquad p(x)+q(x)=0,$$ de donde $p(x)^2=x^3$ que es imposible por razones de grado.