Ideal$I$ en un anillo noetheriano tal que$I+(b)$ y$I+(a)$ son proyectivos, donde$ab\in I$

Question

Deje $R$ ser un Noetherian anillo y $I$ será un verdadero ideal de la $R$ y deje $a,b\in R$ ser tal que $ab\in I$ e $I+Ra$ e $I+Rb$ son proyectivos como $R$-módulos.

A continuación, es el ideal de la $I$ proyectiva como un $R$-módulo ?

NOTA: Si esto se mantiene, entonces implicaría que si en un Noetherian anillo, cada primer ideal es proyectivo, entonces todo ideal es proyectiva

Answer 1

Esto no es cierto. Deje $R = k[x,y,z]/(xy+xz+yz)$ (para $k$ un campo). Deje $I = \langle xy,xz,yz \rangle$. Geométricamente, $R$ es el anillo de coordenadas de un cono en el espacio tridimensional que contiene los tres ejes de coordenadas, y $I$ es el ideal de los tres ejes.

En primer lugar comprobar que $I$ no es proyectiva. Desde $I \otimes \mathrm{Frac}(R)$ es unidimensional como una $\mathrm{Frac}(R)$ espacio vectorial, tendría que ser de rango $1$. Pero $I \otimes R/\langle x,y,z \rangle$ es $2$-dimensional $k$ espacio vectorial (es atravesado por $xy$, $xz$ e $yz$, con la relación $xy+xz+yz=0$), por lo $I$ no es localmente libre de rango $1$ a $\langle x,y,z \rangle$.

Tenemos $xy$, $xz$ e $yz \in \langle x \rangle$; para el último, tenga en cuenta que $yz = -x(y+z)$. Por lo $I + Rx = \langle x \rangle$ que es el principal y por lo tanto proyectivas. Por la misma razón, $I+Ry$ es proyectiva. Y $xy \in I$.

Si usted tiene algunos de geometría algebraica, esto es lo que yo pensaba acerca de esto. Deje $X = \mathrm{Spec}(R)$ e $D \subset X$ ser el cero locus de $I$. Deje $D_a$ e $D_b$ ser el cero locuses de $I+Ra$ e $I+Rb$. Por lo $D \supseteq D_a$, $D_b$. La ecuación de $ab \in I$ significa que $ab$ se desvanece en $D$, lo $D = D_a \cup D_b$. "Proyectiva" significa "localmente principal" significa "divisor de Cartier". Así que quiero $D_a$ e $D_b$ a ser divisores de Cartier, sino $D_a \cup D_b$ no Cartier. Desde $D_a$ e $D_b$ son Cartier, su unión será pura codimension $1$, en otras palabras, un divisor de Weil. Así que quiero un no-Cartier divisor de Weil a ser la unión de dos divisores de Cartier.

Tiempo para probar el más simple anillo, que no Cartier divisores de Weil: En el cuadrática de cono, cualquier número de líneas a través de las $0$ es un divisor de Weil, pero es sólo Cartier si el número de líneas es aún. Así que quiero un número impar de líneas (3 en el ejemplo) para ser la unión de dos conjuntos con un número par de líneas (2 en el ejemplo).