La afirmación es verdadera cuando $\gamma$ es una orientación positiva curva cerrada simple delimitación algunos Jordania dominio $\Omega$.
Deje $\mathcal{I}$ ser integral en la mano. Identificar plano Euclidiano $\mathbb{R}^2$ con el plano complejo $\mathbb{C}$ e introducir complejo de coordenadas $x,y$:
$$
\begin{cases}
\vec{x} = (x_1,x_2) & \leftrightarrow & x = x_1 + x_2 i\\
\vec{y} = (y_1,y_2) &\leftrightarrow & y = y_1 + y_2 i
\end{casos}$$
Deje $z = y - x$. Para cualquier $\vec{\rho} = (\rho_1,\rho_2) \leftrightarrow \rho = \rho_1 + i\rho_2 \in \mathbb{C}$, usaremos la notación $\Omega + \rho$ e $\gamma + \rho$ para denotar la imagen de $\Omega$ e $\gamma$ bajo la traslación $\vec{\rho}$.
En términos de complejo de coordenadas, tenemos
$d\vec{x} \cdot d\vec{y} = \frac12 \left(dx d\bar{y} + dy d\bar{x}\right)$. Esto lleva a
$$\begin{align}
\mathcal{I}
&= -\frac{1}{8\pi} \int_{\gamma \times \gamma} \log(z\bar{z}) (dx d\bar{y} + dyd\bar{x})
= -\frac{1}{4\pi}\Re \left[\int_{\gamma\times\gamma} \log(z\bar{z}) dx d\bar{y}\right]\\
&= -\frac{1}{4\pi}\Re\left[\int_{x \in \gamma} \left(\int_{z \in \gamma - x}\log(z\bar{z}) d\bar{z}\right) dx\right]
\end{align}\etiqueta{*1}
$$
Aplicar Stoke teorema (la versión para el complejo de coordenadas) para el interior de la integral, obtenemos
$$\begin{align}
\mathcal{I}
&= -\frac{1}{4\pi}\Re\left[\int_{x\in\gamma} \left(\int_{z \in \Omega - x}
\left(\frac{dz}{z} + \frac{d\bar{z}}{\bar{z}}\right)\wedge d\bar{z}\right) dx\right]\\
&= \frac{1}{4\pi}\Re\left[\int_{x\in\gamma} \left(
\int_{z\in \Omega - x}\frac{d\bar{z} \wedge dz}{z}
\right) dx\right]\\
&= \frac{1}{4\pi}
\Re\left[\int_{x\in\gamma} \left(
\int_{y\in \Omega}\frac{d\bar{y} \wedge dy}{y-x}
\right) dx\right]\\
&= \frac{1}{4\pi}
\Re\left[
\int_{y\in\Omega}\left(\int_{x\in\gamma}\frac{dx}{y-x}\right) d\bar{y} \wedge dy
\right]
\end{align}
$$
Por Cauchy de la integral de la fórmula, tenemos $$\int_{x\in\gamma}\frac{dx}{y-x} = -2\pi i\quad\text{ for } y \in \Omega$$ Como resultado,
$$\begin{align}\mathcal{I}
&= \frac{1}{4\pi} \Re\left[ \int_{y \in \Omega} (-2\pi i)(2i dy_1 \wedge dy_2 )\right]
= \Re\left[ \int_{y \in \Omega} dy_1 \wedge dy_2 \right]\\
&= \Re\left[\verb/Area/(\Omega)\right] = \verb/Area/(\Omega)
\end{align}
$$
Actualización - la Generalización de la no-simple curvas cerradas.
Para los no-simple y cerrada curva de $\gamma$ e $y \not\in \gamma$, vamos a $W(\gamma;y)$ ser el devanado de número de $\gamma$ todo $y$. Tenemos las siguientes generalización de la integral de Cauchy fórmula:
$$\int_\gamma \frac{dx}{y-x} = -2\pi i W(\gamma;y)\tag{*2}$$
Cuando $\gamma$ satisface las siguientes condiciones:
- $\gamma$ se puede descomponer en un número finito de segmentos de curva, los segmentos, ya sea coincide por completo o en su interior (como un segmento de la curva) son distintos el uno del otro.
- $\gamma$ divide $\mathcal{C}\setminus \gamma$ en un número finito de componentes conectados, los límites de estos componentes son finitos combinaciones de segmentos de curva de paso $1$.
Podemos romper cualquier contorno integral sobre la $\gamma$ integral para las combinaciones de contorno integrales sobre los límites de los componentes conectados en el paso $2$.
Podemos aplicar el Stoke el teorema de los componentes individuales y recombinar los resultados.
Aplicar este procedimiento para el contorno interno integral en $(*1)$ , y con la ayuda de $(*2)$, obtenemos:
$$
\mathcal{I}
= \frac{1}{4\pi}
\Re\left[\int_{x\in\gamma} \left(
\int_{y\in \mathbb{C}\setminus\gamma}\frac{W(\gamma;y)}{y-x} d\bar{y} \wedge dy
\right) dx\right]
= \int_{y\in \mathbb{C}\setminus\gamma} W(\gamma;y)^2 dy_1 \wedge dy_2$$
Recordar liquidación número es constante a lo largo de cada componente conectado. Si $\Omega_1, \ldots, \Omega_m$ son los componentes conectados de $\mathbb{C}\setminus\gamma$ con sinuoso distinta de cero y números de $W_i$ es la liquidación número de $\Omega_i$,
podemos reescribir la última expresión como
$$\mathcal{I} = \sum_{i=1}^m W_i^2 \verb/Area/(\Omega_i)$$
La integral de la $\mathcal{I}$ es simplemente una suma ponderada de las áreas de los componentes conectados y el peso es igual al cuadrado de la correspondiente liquidación número.
En el caso especial donde todos los $|W_i| \le 1$, por encima de la fórmula se simplifica a
$$\mathcal{I} = \sum_{i=1}^m \verb/Area/(\Omega_i)$$
$\mathcal{I}$ se convierte en el unsigned área de los componentes conectados cuyo devanado número no es cero.
