Cómo encontrar el resto de la división del polinomio$x^{2016}-x^{2015}-1$ con$x^2+1$

Question

¿Cuál es el resto de dividir el polinomio $$P(x)=x^{2016}-x^{2015}-1$$ con $x^2+1$?

Así que lo que yo pensaba de hacer es simplemente dividir la "escuela":

$(x^{2016}-x^{2015}-1)\div(x^2+1)=x^{2014}-x^{2013}-x^{2012}+x^{2011}\cdots$

Pero el problema es que de esta manera se va en y en y puedo ver que se debe terminar con $x$ como un resto, pero lo que es la forma en que se puede demostrar que, sin saber que termina en $x$?

La otra manera en que yo pensaba de la solución de este es tal vez la presentación que:

$P(x)\div(x^2+1)=Q(x)+y$,

así, por $P(i)$

$i^{2016}-i^{2015}-1=y$,

donde $i^2=-1$, y de esta manera puedo obtener

$y=-i$

pero me parece incorrecto, ya que puedo ver que el regular de la división terminaría a $x$.

Answer 1

Su enfoque funciona excepto que no es completamente general: debido a $x^2+1$ es cuadrática, el cociente-el resto del formulario debe ser $$ P(x) = Q(x)(x^2+1) + ax+b $$ para algunos desconocido $a$ e $b$.

Ahora podemos establecer $P(i) = Q(i)(0) + ai + b$, obteniendo una ecuación de $a$ e $b$. También podemos establecer $P(-i) = Q(i)(0) + a(-i) + b$, obtener otra ecuación, debido a que $x^2+1$ es $0$ cuando $x=i$ o al $x=-i$.

La solución para $a$ e $b$, usted debe obtener la $a=1$ e $b=0$.

Answer 2

El resto de $P(x)$ con $Q(x)$ permanece invariante si queremos añadir o restar un múltiplo (que puede ser un polinomio) de $Q(x)$ de $P(x)$. Así, podemos evaluar el resto en forma análoga como lo haríamos en el caso de números ordinarios usando aritmética modular.

Por lo tanto, necesitamos hacer los cálculos modulo $Q(x) = x^2 + 1$. Desde:

$$x^2 = -1 \bmod Q(x)$$

tenemos:

$$x^{2016} = 1 \bmod Q(x)$$

$$x^{2015} = x^3 \bmod Q(x) = -x \bmod Q(x)$$

Por lo tanto:

$$x^{2016} - x^{2015} - 1 = x \bmod Q(x)$$

Answer 3

$\!\bmod\, x^{\large 2}\!+\!1\!:\,\ x^{\large 2}\equiv -1\,\Rightarrow\, \color{#0a0}{x^{\large 3}\equiv -x}\,\Rightarrow\,\color{#c00}{x^{\large 4}\equiv 1}\,\Rightarrow\, x^{\large 4q+r} = (\color{#c00}{x^{\large 4}})^{\large q} x^{\large r} \equiv\, x^{\large r}$

$\begin{align}{\rm Therefore}\ \ \qquad x^{\large 4n} - x^{\large 4k+3} &-\, 1\\ \equiv\quad\ 1\ \ -\ \ \color{#0a0}{\large x^3} &-\, 1\, \equiv\, x\ \end{align}$

Comentario $ $ Sobre $x$ es como $i$ una raíz cuadrada de $-1$. Si sabes un poco de anillo de la teoría de saber cómo decir esto de una forma mucho más precisa $\,\Bbb Z[x]/(x^2+1)\cong \Bbb Z[i],\,$ así que sustituyen a $x$ por $i$ anterior nos da una isomorfo cálculo de los enteros de Gauss. Así que podemos usar los números para inferir resultados sobre polinomios!

Answer 4

Está bien, así que llegué donde me equivoqué.

para $P(i)$

$i^{2016}-i^{2015}-1=y\\1-(-i)-1=y\\y=i$

Y como lo hice para $P(i)$ , debería ser

$y=x$ ,

lo que significa que el resto de dividir esos polinomios es $x$ , lo que parece correcto.

Corrígeme en esto si me equivoco en alguna parte.