Teoría de Iwasawa

Question

No he encontrado ningún post al respecto, así que he pensado en preguntar. Más allá de aprender álgebra básica (anillos, grupos, campos) y análisis complejo, ¿qué hay que estudiar si se quiere empezar a aprender una buena cantidad de teoría de iwasawa? ¿En qué secuencia se debe estudiar este material?

Answer 1

La teoría de Iwasawa tiene al menos dos aspectos, algebraico y $p$ - analítico. Inicialmente, se desarrollaron de forma independiente hasta que se fusionaron en un único tema dominado por la llamada Conjetura Principal. Ya que pides un mapa de carreteras, aquí tienes primero algunos mínimo hitos de la teoría "clásica" de Iw:

1) La parte algebraica comenzó con el estudio de $\mathbf Z_p$ -es decir, extensiones de Galois infinitas con grupo de Galois isomorfo a ( $\mathbf Z_p$ ,+). Un ejemplo de problema profundo es la famosa conjetura de Leopoldt, que afirma que un campo numérico $K$ posee exactamente $(1+ r_2)$ "independiente" $\mathbf Z_p$ -extensiones, donde $r_2$ es el número de pares de incrustaciones conjugadas de $K$ en $\mathbf C$ . La conjetura ha sido demostrada por Brumer para los abelianos $K$ utilizando $p$ -ádicos trascendentales, pero sigue sin resolverse en general.

Otra motivación vino de ANT : dado $K$ y $p$ ¿cómo se $p$ -los grupos de clases (de clases ideales) se comportan al ascender por las capas $K_n$ de un $\mathbf Z_p$ -extensión $K_{\infty}/K$ ? La respuesta dada por Iw. es uno de los primeros resultados emblemáticos de la teoría : sus órdenes son asintóticamente de la forma $p^{c(n)}$ donde $c(n)=\mu p^n + \lambda n + \nu$ donde $\lambda, \mu \in \mathbf N$ y $\nu \in \mathbf Z$ son parámetros que dependen únicamente de $K$ . Este teorema es una ilustración de un proceso básico de "subir y bajar" que se ha convertido en una marca registrada de la teoría de Iw. : cuando un problema aritmético parece demasiado complicado a nivel de $K$ se sube por las capas de $K_{\infty}/K$ esperando que los problemas correspondientes se estabilicen, y entonces se vuelve a bajar para atacar el problema inicial con las nuevas armas encontradas arriba. Este fue exactamente el método de prueba del resultado anterior : el límite proyectivo de la $p$ -grupos de clases a lo largo de las capas $K_n$ es un módulo de torsión finitamente generado sobre el anillo de series de potencias formales $\mathbf Z_p [[T]]$ e Iw. dieron un teorema de estructura para tales módulos, análogo al de los módulos finitamente generados sobre un dominio principal.

Debo añadir un ejemplo que muestra que esta parte "algebraica" de la teoría contiene en realidad algo de aritmética profunda. Inicialmente se pensó que $\mu=0$ en general, pero Iw. construyó un contraejemplo, y la conjetura de la nulidad hoy en día se restringe a los llamados ciclotómico $\mathbf Z_p$ -extensiones, que misteriosamente desempeñan un papel destacado cuando entra en juego la aritmética. Como en el caso de Leopoldt, la conjetura " $\mu=0$ "para abelios $K$ por muchas personas (Washington, Sinnott, etc.), pero ninguna de las pruebas es algebraica.

2) Por supuesto, $p$ -Parece que el análisis ácrata aparece con $\mathbf Z_p [[T]]$ pero bajo esta forma permanece en la superficie, ya que el teorema de preparación de Weierstrass nos permite, a grandes rasgos, sustituir series por polinomios. Desde este punto de vista, el punto principal es la introducción de un invariante de aspecto inocente unido a cualquier módulo $X$ como arriba. Si $\Gamma=Gal(K_{\infty}/K)$ se escribe multiplicativamente, admite un generador topológico $\gamma$ y si fijamos $T = \gamma - 1$ entonces el anillo formal de series de potencias $\mathbf Z_p [[T]]$ no es otro que el anillo de grupo completo $\mathbf Z_p [[\Gamma]]$ . Como en álgebra lineal elemental, podemos adjuntar a la acción de $\gamma - 1$ en $X$ un "polinomio característico (serie)" $f_X (T)$ . Este es el primer lado de la montaña.

El otro lado proviene de la teoría de $p$ -funciones L ádicas unidas a un campo numérico totalmente real $K$ . Para los productos básicos, veamos sólo el $p$ -función zeta ádica $\zeta_p (K, s)$ con $p$ impar. Gracias a un teorema analítico de Siegel, los "valores especiales" (= primeros términos no nulos de la expansión de Taylor) de la función compleja $\zeta(K, s)$ en enteros negativos son racionales, por lo tanto viven también en $\mathbf Q_p$ . La idea natural es entonces "interpolarlos" por algún $p$ -de la función zeta. Esto fue hecho por Kubota-Leopoldt para $K=\mathbf Q$ y para un $K$ por Barsky, Cassou-Noguès, Deligne-Ribet. Un paso técnico en una de las construcciones utilizó el elemento clásico equivariante (=que vive en un álgebra de grupo) de Stickelberger que aniquila el grupo de clase. Esto dio a Iwasawa la idea de la Conjetura Principal: tomar el proj. lim. $X$ de las partes "menos" (= invertidas por conjugación compleja) del $p$ -a lo largo de la extensión ciclotómica $K(\mu_{p^{\infty}})$ donde $\mu_{p^{\infty}}$ es el grupo de todos los $p^n$ -raíces de $1$ . Entonces, hasta un adecuado cambio de variables, $\zeta_p(K, s)$ debe ser "el mismo" que $f_X (T)$ ¡! Esta asombrosa conjetura se demostró, pues $K=\mathbf Q$ por Mazur y Wiles, y en general por Wiles, utilizando formas modulares (que son el núcleo de la construcción Deligne-Ribet). Más tarde, Kolyvagin ofreció una demostración no modular más sencilla e introdujo la importante noción de Sistemas Euler pero este enfoque sólo funciona en $\mathbf Q$ .

Puedes aprender casi todo lo anterior (fuera de las formas modulares) en libros de texto ya clásicos como "Introduction to Cyclotomic Fields" de Washington, "Cyclotomic Fields" (2 volúmenes) de Lang, "Cyclotomic Fields and Zeta Values" de Coates § Sujatha. Básicamente necesitarás tener conocimientos suficientes de ANT y CFT. Otras herramientas más potentes (cohomología, formas modulares...) podrás adquirirlas más adelante. Me abstengo de hablar de los desarrollos actuales de la teoría de Iw. (curvas elípticas, sistemas de Euler, conjeturas del Número de Tamagawa, $p$ -representaciones adáquicas...) para las que la bibliografía se encuentra aún a nivel de investigación...