Pregunta: Si $s \in \mathbb{N}$ es cierto: $\sum_{x=1}^\infty\left[\prod_{k=0}^s{s\choose k}x^k\right]^{-1}={\zeta\left[{s+1 \choose 2}\right] \above 1.5pt \prod_{k=1}^s{s \choose k}};$ donde $\zeta\left[{s+1 \choose 2}\right]$ es la de Riemann zeta función de$^1$ evaluados en el triangular de los números de$^2$ ?
Creo que puedo mostrar la respuesta a la pregunta es sí por medio de la inspección. No puedo obtener una real cálculo explícito que responde a la pregunta afirmativamente - que es lo que estoy pidiendo !
Solución a la pregunta por la inspección: Para corto imparcialidad escribo $$\zeta_{\times}(s)=\sum_{x=1}^\infty\Bigg[\prod_{k=0}^s{s\choose k}x^k\Bigg]^{-1}$$ He calculado una pequeña lista de los valores de $\zeta_{\times}(s)$ para las pequeñas $s$:
\begin{array}{ l | l } s & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7\\ \hline \zeta_{\times}(s) & \frac{\zeta(3)}{2} & \frac{\zeta(6)}{9} & \frac{\zeta(10)}{96} & \frac{\zeta(15)}{2500} & \frac{\zeta(21)}{162000}& \frac{\zeta(28)}{26471025}\\ \end{array}
Inspección sugiere que $\zeta_{\times}(s)$ ha numerador igual a la de Riemann zeta función en ${s+1 \choose 2}.$ Los denominadores de $\zeta_{\times}(s)$ puede ser escrito de forma explícita como $2,9,96,2500,162000,\ldots$; la cual parece ser el entero de la secuencia de A001142$^3$. Enumerados en la sección de referencia es el siguiente trabajo de Lagarias: los Productos de los Coeficientes Binomiales y no reducido Fracciones de Farey.$^4$. Lagarias define el sin diluir fracciones de Farey$^5$ a ser la secuencia ordenada de todos reducido y sin diluir fracciones entre $0$ e $1$ con denominador de tamaño en la mayoría de las $s.$ Siguiente Lagarias' notación: escribo $G_s$ para el conjunto de sin diluir fracciones de Farey y deje $|G_s|$ e $G_s^*$ indicar la cardinalidad y el producto de todos los elementos de a$G_s$ respectivamente. Lagarias muestra los siguientes resultados: $|G_s|={s+1 \choose 2}$ e $G_s^*=\prod_{k=1}^s{s \choose k}.$ puedo poner todo junto y conseguir $$\zeta_{\times}(s)={\zeta\big(|G_s|\big) \above 1.5pt G_s^*}$$
y estoy hecho. $\blacksquare$
Origen y motivación del problema: la Curiosidad es el principal motor de la fuente del problema. Aquí va: Si $x$ e $s$ son números positivos escribo $\zeta(s)$ para la de Riemann zeta función evaluada en el número de $s.$ Para la facilidad de escribir escribo Triángulo de Pascal$^{6}$ como este: $$\text{ }\begin{matrix} 1&&&&\\ 1&1&&&\\ \color{red}{1}&\color{red}{2}&\color{red}{1}&&\\ \color{blue}{1}&\color{blue}{3}&\color{blue}{3}&\color{blue}{1}&\\ 1&4&6&4&1\\ \vdots \end{de la matriz}$$ y recordemos que la primera fila en el triángulo de Pascal es un número en $0$. Ahora veamos la segunda y tercera filas del triángulo, resaltada en rojo y azul respectivamente, y observar: $\sum_{x=0}^\infty{ 1 \above 1.5pt \color{red}{1}+\color{red}{2}x+\color{red}{1}x^2}=\zeta(2)$ e $\sum_{x=0}^\infty{ 1 \above 1.5pt \color{blue}{1}+\color{blue}{3}x+\color{blue}{3}x^2+\color{blue}{1}x^3}=\zeta(3).$ Esta observación muestra que $\zeta(s)$ puede ser recuperado de las filas del triángulo de Pascal - en particular, me puede escribir $\sum_{x=0}^\infty\frac{1}{(1+x)^s}=\zeta(s).$ Por otro lado, utilizando el teorema del binomio$^{7}$ me permite calcular $(1+n)^s$ explícitamente con la fórmula: $\sum_{k=0}^s{s\choose k}x^k$ , en cuyo caso después de la sustitución: $$\zeta(s)=\sum_{x=0}^\infty\bigg[\sum_{k=0}^s{s\choose k}x^k\bigg]^{-1}$$ Ahora, del total de la curiosidad me decidí a intercambiar el interior de la suma dentro de la gran soportes y intercambiarlo con un producto, observando cuidadosamente que si hago lo que tengo que cambiar el punto de partida en el exterior suma a $1$ de lo contrario habría que dividir por cero. Para abreviar el uso de las manos escribí $$\zeta_{\times}(s)=\sum_{x=1}^\infty\Bigg[\prod_{k=0}^s{s\choose k}x^k\Bigg]^{-1}$$ Numerical inspection suggested $$\zeta_{\times}(s) ={\zeta\left[{s+1 \choose 2}\right] \above 1.5pt \prod_{k=1}^s{s \choose k}}$$ I double checked my numerical hunch against Sloan's Database and encountered the paper by Lagarias. In Lieu of the fact that Lagarias has an explicit formulae for $\registro de G_s^*$ (see Lagarias paper or reference above for notation) I primarily became interested in computing $\log \zeta_{\times}(s).$ If I could answer the question affirmatively then I would know that $$\log \zeta_{\times}(s)=\log \zeta(|G_s|)-\log(G_s^*)$$
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
$\zeta_{\times(s)} =\sum_{x=1}^\infty\Bigg[\prod_{k=0}^s{s\elegir k}x^k\Bigg]^{-1} $
Tal vez sólo estoy siendo ingenuo, pero ya $\prod_{k=0}^s{s\elegir k}x^k =\prod_{k=0}^s{s\elegir k}\prod_{k=0}^sx^k =G_s^*x^{s(s+1)/2} $, $\zeta_{\times}(s) =\sum_{x=1}^\infty \dfrac1{G_s^*}x^{s(s+1)/2} =\dfrac1{G_s^*}\sum_{x=1}^\infty x^{s(s+1)/2} =\dfrac{\zeta(s(s+1)/2)}{G_s^*} $.
¿Hay algo más que esto?
