Norma de operador de una matriz compuesta de base estándar y base de Fourier

Question

Deje $\mathbf{A}_n$ $n\times 2n$ matriz (donde $n=2^k$) compuesto de Fourier base y estándar; es decir, $$\mathbf{A}_n = \begin{bmatrix}\mathbf{I}_n & \mathbf{F}_n\end{bmatrix}$$ donde $\mathbf{I}_n$ es la matriz identidad y $\mathbf{F}_n$ es la DFT de la matriz.

Por lo general, una DFT de la matriz $\mathbf{F}_n$ se define como $$ \mathbf{F}_n = \frac{1}{\sqrt{n}} \begin{bmatrix} \omega^0 & \omega^0 & \omega^0 & \cdots & \omega^0 \\ \omega^0 & \omega^1 & \omega^2 & \cdots & \omega^{n-1} \\ \omega^0 & \omega^2 & \omega^4 & \cdots & \omega^{2(n-1)} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \omega^0& \omega^{n-1}& \omega^{2(n-1)}& \cdots & \omega^{(n-1)(n-1)} \end{bmatrix} $$ donde $\omega = \exp(-2\pi i / n)$ es la primitiva $n^\mathrm{th}$ raíz de la unidad.

Por ejemplo, si $n=2^2$, $\mathbf{A}_4$ es la concatenación de $\mathbf{F}_4$$\mathbf{I}_4$: $$ \mathbf{A}dimm_4= \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 1/2 & 1/2 & 1/2 & 1/2 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 1/2 & -i/2 & -1/2 & i/2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1/2 & -1/2 & 1/2 & -1/2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1/2 & i/2 & -1/2 & -i/2 \end{bmatrix} $$

Uno puede fácilmente obtener $\mathbf{F}_4$ conectando $\omega = \exp(-2\pi i / 4) = -i$.

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Estoy interesado en la informática el operador de la norma de $\mathbf{A}$ se define como: $$||\mathbf{A}||_{op} = \max_{||\mathbf{x}||_2 = 1} ||\mathbf{A}\mathbf{x}||_2$$ donde $||\mathbf{x}||_2$ es la norma Euclídea del vector $\mathbf{x}$.

Tenemos una forma cerrada de $||\mathbf{A}_n||_{op}$ cualquier $n$?

Answer 1

Los valores singulares de$(I,F)$ son las raíces cuadradas de los valores propios de$(I,F)(I,F)^\ast=I+FF^\ast$. Dado que la matriz DFT$F$ es unitaria,$I+FF^\ast=2I$. En consecuencia, todos los valores singulares y, a su vez, el operador$2$ - norma de$(I,F)$ son iguales a$\sqrt{2}$, independientemente del tamaño$n$.