Si$F$ es un grupo libre, entonces$g^2=h^2$ implica$g=h$ para$h,g\in F$

Question

Si $F$ es un grupo libre, a continuación, $g^2=h^2$ implica $g=h$$h,g\in F$.

He estado tratando de demostrar esta dada la definición de un grupo libre $F$: grupo determinado $F$ y el subconjunto $X\subseteq F$, $F$ es gratuita a través de $X$ si por cualquier grupo de $G$ y la función $\theta: X \to G$, no existe un único homomorphism $\alpha:F\to G$ tal que $\alpha(x)=\theta(x)$ todos los $x\in X$.

La definición no me dejan mucho: he intentado definir una función de $\theta:X\to F$ y, a continuación, utilizar la definición de tomar el da $\alpha$ y de alguna manera llegar a $h=g$ pero no he tenido éxito.

Answer 1

Puede usar el siguiente hecho: Si$F$ es un grupo libre,$x\in F$ y$x\neq e$, entonces$C_F(x)$ es un grupo cíclico infinito.

Tenga en cuenta que$g^2=h^2=e$ implica$g=h=e$, ya que no hay ningún elemento no trivial de orden finito en el grupo libre. Por lo tanto, suponga que$g^2=h^2\neq e$, y deje$C_F(g^2)= \langle u\rangle$. Trivialmente,$g,h\in C_G(g^2)= C_F(h^2)$, por lo tanto,$g=u^p$ y$h= u^q$. Entonces$u^{2p}= g^2=h^2= u^{2q}$, así que$2p=2q$ ya que$\langle u\rangle$ es infinito. Por lo tanto,$p=q$ y$g= u^p= u^q= h$.