Encontré la siguiente pregunta en un libro (sin soluciones) que he estado resolviendo:
Demuestre que para todos los enteros positivos$x$ y$y$,$x\not =y$, se pueden encontrar enteros positivos$m$ y$n$ de tal manera que la condición dada es: -$$\frac {x^4+y^4+m^4}{x^2+y^2+m^2}=m^2+n$$ I substituted $ x + y = s$ and $ xy = p$. Therefore $ x ^ 2 + y ^ 2 = (x + y) ^ 2-2xy = s ^ 2-2p$ and $ x ^ 4 + y ^ 4 = (x ^ 2 + y ^ 2) ^ 2-2x ^ 2y ^ 2 = (s ^ 2-2p) ^ 2-2p ^ 2 = s ^ 4-4s ^ 2p +2p ^ 2$. Substituting these values in the original equation we get $$\frac {s^4-4s^2p+2p^2+m^4}{s^2-2p+m^2}=m^2+n\\=>s^4-4s^2p+2p^2=m^2s^2-2pm^2+ns^2-2np+nm^2$$ This gives $ n = -p$ and $ m = s$ as solutions but we have to find positive $ m, n $ así que, ¿qué debo hacer?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Mediante el uso de $s=x-y$ luego poco a la ampliación de los existentes argumento, se puede demostrar que cuando se $0 \ne |y| \ne |x| \ne 0$ $m = \max(|x|,|y|)-\min(|x|,|y|), n=|x||y|$ es una solución con $m >0, n > 0$.
En general parece cuando la condición anterior no se sostiene entonces no hay tal solución, sin embargo, hay algunas soluciones.
Para $(x,y)=(6k,6k)$ tenemos $(m,n) = (3k,24k^2)$
para $(x,y)=(15k,15k)$ tenemos $(m,n) = (6k,175k^2)$
para $(x,y)=(33k,33k)$ tenemos $(m,n) = (22k,495k^2)$
para $(x,y)=(57k,57k)$ tenemos $(m,n) = (19k,2736k^2)$
para $(x,y)=(10k,0)$ tenemos $(m,n) = (5k,60k^2)$
para $(x,y)=(15k,0)$ tenemos $(m,n) = (5k,180k^2)$
para $(x,y)=(20k,0)$ tenemos $(m,n) = (15k,112k^2)$
para $(x,y)=(35k,0)$ tenemos $(m,n) = (5k,1176k^2)$
para $(x,y)=(65k,0)$ tenemos $(m,n) = (13k,3900k^2)$
y probablemente muchos más.
