¿Anillo no conmutativo con 64 elementos?

Question

Ejercicio: Dar un ejemplo de un no-conmutativa anillo con 64 elementos.

Oficial solución: Vamos a $A = \mathrm{GL}_6(\mathbb{Z}_2)$. Sabemos que $A$ es un no-conmutativa anillo. Ya que cada entrada de $a$ es de $\mathbb{Z}_2$, cada entrada de $a$ tiene dos opciones. Desde $a$ $6 \times 6$ de la matriz y de cada entrada tiene dos opciones, llegamos a la conclusión de que $a$ $2^6$ opciones. Por lo tanto, $|A| = 64$.

Uh-oh, yo podría muy bien creemos que este anillo $A$ $64$ elementos, pero a mí me parece, mucho más tiene que decir al respecto.

Un $6 \times 6$ matriz de ha $36$ entradas, por lo que tenemos $2^{36}$ opciones posibles. A continuación, debemos excluir matrices que no tienen el rango completo de 6. Que parece ser un buen problema combinatorio...

Me pueden ayudar?

Answer 1

No puedo darle ningún sentido a esa solución oficial. $\text{GL}_6(\mathbb{Z}_2)$ es un grupo, no un anillo, y tiene mucho más que$64$ elementos. $M_6(\mathbb{F}_2)$, como usted dice, tiene$2^{36}$ elementos.

Para un ejemplo correcto, tome$R \times R$ donde$R$ es el anillo de$2 \times 2$ matrices triangulares superiores con entradas en$\mathbb{F}_2$ (el anillo no conmutativo más pequeño, con$8$ elementos). También puede tomar el grupo de álgebra$\mathbb{F}_2[S_3]$ o el producto$\mathbb{F}_2 \times \mathbb{F}_2 \times M_2(\mathbb{F}_2)$.