' homotopía ' entre morfismos de un ' topológico ' o ' algebraica ' categoría (anillo de Stanley-Reisner)

Question

En lo que sigue, un homotopy es una congruencia $\simeq$ en una categoría determinada. Dado un homotopy, objetos de $X$ $Y$ de la categoría homotopy equivalente cuando existen morfismos $f\!:X\rightarrow Y$$g\!:Y\rightarrow X$$gf\simeq id_X$$fg\simeq id_Y$.

P1: Dado resumen simplicial complejos de $\Delta,\Delta'$ y simplicial mapas de $f,g\!:\Delta\rightarrow\Delta'$, hay algunos (no trivial pero significativo) noción de un homotopy $h$ o homotopicness $\simeq$$f$$g$?

Por supuesto, esto debería ser un objeto matemático con 'finito de la información" (la costumbre continua homotopies entre continuo mapas de $f,g\!: |\Delta|\rightarrow|\Delta'|$, en general no puede ser especificado por cantidad finita de datos). Estoy pidiendo una discreta analógica de un continuo homotopy entre continuo de los mapas. Una propiedad deseada sería también que si $f\simeq g$,$H_n(f)=H_n(g)$.

P2: Vamos a $K$ ser un campo y denotan $K[x_1,\ldots,x_n|p_1,\ldots,p_k]:=K[x_1,\ldots,x_n]/(p_1,\ldots,p_k)$ dados los polinomios $p_1,\ldots,p_k\in K[x_1,\ldots,x_n]$. Dado morfismos de $K$-álgebras $f,g\!: K[x_1,\ldots,x_m|p_1,\ldots,p_k]\rightarrow K[y_1,\ldots,y_n|q_1,\ldots,q_l]$, hay algunos (no trivial pero significativo) noción de un homotopy $h$ o homotopicness $\simeq$$f$$g$? ¿Y el caso especial cuando $K=\mathbb{Z}_2,\mathbb{Q},\mathbb{R},\mathbb{C}$?

P3: Si la respuesta a Q2 es no, entonces hay ningún sentido de la noción de un homotopy equivalencia entre el$K[x_1,\ldots,x_m|p_1,\ldots,p_k]$$K[y_1,\ldots,y_n|q_1,\ldots,q_l]$? Tal homotopy equivalencia es necesario para satisfacer la si $\Delta$ $\Delta'$ son homotopy equivalente simplicial complejos, entonces sus Stanley-Reisner anillos de $K[\Delta]$ $K[\Delta']$ son también homotopy equivalente. ¿Y el caso especial cuando $K=\mathbb{Z}_2,\mathbb{Q},\mathbb{R},\mathbb{C}$? ¿Y el caso especial cuando $p_i,q_j$ son cuadrados libre de monomials?

Básicamente me gustaría saber cómo la homotopy equivalencia de simplicial complejos de $\Delta,\Delta'$ afecta a los anillos de $K[\Delta],K[\Delta']$. Por ejemplo, $(n\text{-simplex})\mathbb{B}^n\!\simeq\!\mathbb{B}^0\simeq \mathbb{I}_n(n\text{-path})$, así que lo algebraica de la propiedad do $K[\mathbb{B}^n]=K[x_0,\ldots,x_n]$ $K[\mathbb{B}^0]=K[x_0]$ $K[\mathbb{I}_n]=K[x_0,\ldots,x_n|x_ix_j; i\!-\!j\!\geq\!2]$ de cuota, mientras que $\mathbb{B}^n\!\not\simeq\!\mathbb{S}^n$, así que lo algebraica de la propiedad no $K[\mathbb{B}^n]=K[x_0,\ldots,x_n]$ $K[\mathbb{S}^n]=K[x_0,\ldots,x_n|x_0\cdots x_n]$ compartir?

Answer 1

P1: sí, pero no sé referencia. Dos simplicial mapas de $h, k : K \to L$ son contiguos si para cada simplex $\sigma$$K$, no es un simplex $\sigma'$ $L$ tanto $h(\sigma)$ $k(\sigma)$ son caras de $\sigma'$. El siguiente mantenga pulsado el botón (me dieron estos ejercicios en una topología algebraica supuesto):

• Cualquiera de los dos simplicial aproximaciones de un mapa continuo $f : |K| \to |L|$ (donde $|K|$ denota la realización geométrica) son contiguos.
• Cualquiera de las dos contiguas mapas inducir homotópica mapas de $|K| \to |L|$.
• Si $f, g : |K| \to |L|$ son homotópica, entonces no es una subdivisión baricéntrica $K^{(N)}$ $K$ y una secuencia de simplicial mapas de $h_1, ... h_n : K^{(N)} \to L$ tal que $h_1$ es una aproximación a simplicial $f$, $h_n$ es un simplicial aproximación a $g$, y cada par $(h_i, h_{i+1})$ es contiguos.

Así que la tercera condición puede ser tomado como una combinatoria definición de homotopy. Hay una mejor definición de si trabajamos con simplicial se establece en lugar de simplicial complejos; ver simplicial homotopy.

P2: ver $\mathbb{A}^1$-homotopy teoría.

P3: mi impresión es que simplices entrar homotopy teoría por una razón no relacionada con la razón por la que simplices entrar combinatoria, álgebra conmutativa. Yo podría estar equivocado, sin embargo.

Answer 2

Para Q2 he escuchado la siguiente definición (hace algunos años, así que puedo estar equivocado). La idea es reemplazar la unidad de intervalo de $[0,1]$ en la definición habitual de homotopy por el anillo de coordenadas de los afín a la línea, es decir,$\mathcal{O}(\mathbb{A}^1) = \mathbb{Z}[x]$. Por lo tanto, dos anillos homomorphisms $f,g : R \to S$ son llamados homotópica si hay un anillo homomorphism $h : R \to S[x]$ tal que $h(r)(0)=f(r)$$h(r)(1)=g(r)$.

Tenga en cuenta que esta relación es compatible con la composición de anillo homomorphisms (en el sentido de $f \simeq g \Rightarrow fs \simeq gs$$tf \simeq tg$), reflexiva y simétrica (uso $S[x] \to S[x], x \mapsto 1-x$). Pero no es transitiva, ver más abajo. Con el fin de obtener una buena idea de homotopy, uno tiene que echar el cierre transitivo. Esta es entonces una relación de congruencia en la categoría de anillos.

La misma definición se aplica a la categoría de $k$-álgebras de un arbitrario (conmutativa) anillo de $k$. Más generalmente, se puede llamar a dos morfismos de $k$-esquemas $f,g : X \to Y$ homotópica si hay un morfismos de $k$-esquemas $h : X \times \mathbb{A}^1 \to Y$ tal que $h(-,0)=f$$h(-,1)=g$. También tenga en cuenta que el uso de $C([0,1])$ en lugar de $\mathcal{O}(\mathbb{A}^1)$, se obtiene la conocida noción de homotopy entre homomorphisms de álgebras de Banach (ver, por ejemplo, aquí).

La transitividad. Si $S$ es un anillo conmutativo, los siguientes son equivalentes:

1. Homotopy es una relación transitiva en a $\hom(R,S)$ por cada $R$.
2. Hay un anillo homomorphism $H : S[x] \times_{e_1,S,e_0} S[x] \to S[x]$ tal que $e_0 H = e_0 p_1$ $e_1 H = e_1 p_2$ ($e_i : S[x] \to S$se dan por $s \mapsto s$$x \mapsto i$, por lo $S[x] \times_{e_1,S,e_0} S[x] = \{(p,q) \in S[x] \times S[x] : p(1)=q(0)\}$).
3. Hay dos polinomios $p,q \in S[x]$ tal que $pq=0$ y $p(0)=-1$, $p(1)=0$ y $q(0)=0$, $q(1)=1$.

En particular, esto no funciona al $S$ es una parte integral de dominio.

Prueba:

$1. \Rightarrow 2.$ Deje $R=S[x] \times_{e_1,S,e_0} S[x]$. A continuación,$e_0 p_1 \simeq e_1 p_1 = e_0 p_2 \simeq e_1 p_2$, por lo tanto también es $e_0 p_1 \simeq e_1 p_2$, que es exactamente 2.

$2. \Rightarrow 1.$ Deje $f,g,h \in \hom(R,S)$$f \simeq g \simeq h$, dicen que a través de $H_1,H_2 \in \hom(R,S[x])$ con $e_0 H_1 = f$, $e_1 H_1 = g$ y $e_0 H_2 = g$, $e_1 H_2 = h$. Porque de $e_1 H_1 = e_0 H_2$ hay un único,$T \in \hom(R,S[x] \times_{e_1,S,e_0} S[x])$$p_1 T = H_1$$p_2 T = H_2$. A continuación, $H_3 := H T \in \hom(R,S[x])$ satisface $e_0 H_3 = f$ $e_1 H_3 = h$ y, por tanto, los testigos de $f \simeq h$.

$2. \Leftrightarrow 3.$ Hay un isomorfismo de $S$-álgebras $S[u,v]/(uv) \to S[x] \times_{e_1,S,e_0} S[x]$$u \mapsto (x-1,0)$$v \mapsto (0,x)$. Esto se puede verificar directamente, o se derivan de la algebro-geométrico observación de que la unión de los dos ejes de coordenadas es un pushout o encolado de dos afín a las líneas en dos puntos. Por lo tanto. $2.$ es equivalente a la existencia de un anillo homomorphism $H : S[u,v]/(uv) \to S[x]$ tal que $e_0(H(u))=e_0(x-1)=-1$, $e_1(H(u))=e_1(0)=0$ y $e_0(H(v))=e_0(0)=0$, $e_1(H(v))=e_1(x)=1$. El uso de las propiedades universales de los cocientes y el polinomio de anillos, vemos que este es equivalente a la existencia de un anillo homomorphism $S \to S[x]$ (pero esto existe de todos modos) y dos polinomios $p=H(u), q=H(v)$ con las propiedades como en $3.$ $\square$