Me pregunto si las series de Clebsch-Gordan se generalizan a cualquier conjunto ortonormal de funciones base. Si es así, ¿cómo se podría derivar una expresión para un conjunto arbitrario de funciones de base (tal vez un ejemplo de derivación de la conocida expresión de los armónicos esféricos sería útil)?
Sé que tiene algo que ver con poder calcular las multiplicidades del producto tensorial de las representaciones irreducibles, pero no sé cómo se haría eso.
Los coeficientes de Clebsch-Gordan aparecen en la teoría de la representación del grupo [Lie] de rotaciones $SO(3)$ [y su cubierta fundamental $SU(2)$ ]. Al expresar el producto tensorial de dos representaciones irreducibles de este grupo [siendo él mismo un representación reducible ] como una suma directa de representaciones irreducibles, los coeficientes normalizados de la expansión son los coeficientes de Clebsch-Gordan. Expresan la multiplicidad de cada representación irreducible en la descomposición.
Los coeficientes de Clebsch-Gordan son a su vez ortonormales, con relación de ortonormalidad
$\sum_{|m_1|\leq j_1,|m_2| \leq j_2} C(j_1,j_2,m_1,m_2|j,m) C(j_1,j_2,m_1,m_2|j',m')= \delta_{j,j'} \delta_{m,m'}$ $\sum_{j=|j_1-j_2|}^{j_1+j_2} \sum_{|m|\leq j} C(j_1,j_2,m_1,m_2|j,m) C(j_1,j_2,m_1',m_2'|j,m)= \delta_{m_1,m_1'} \delta_{m_2,m_2'}$
y como se ha expuesto anteriormente aparecen al descomponer las representaciones reducibles en sumas de representaciones irreducibles. En términos de estados de momento angular
$|j_1,m_1 \rangle \bigotimes|j_2,m_2\rangle=\sum_{j,m} C(j_1,j_2,m_1,m_2|j,m)|j,m\rangle$
donde $C(j_1,j_2,m_1,m_2|j,m)=\langle j,m|j_1,j_2,m_1,m_2\rangle$
Los coeficientes de Clebsch-Gordan aparecen también, en la expansión del producto de dos armónicos esféricos en términos de los propios armónicos esféricos. La derivación de la fórmula es un poco engorrosa y el resultado es el siguiente
$Y_{l_1}^{m_1}(\theta,\varphi)Y_{l_2}^{m_2}(\theta,\varphi)=\sum_{l,m} \ \sqrt{\dfrac{(2l_1+1)(2l_2+1)}{4 \pi(2l+1)}} \\ \times C(l_1,l_2,m_1,m_2|l,m)C(l_1,l_2,0,0|l,m)Y_{l}^m(\theta,\varphi)$
También están relacionados con otras estructuras más complicadas como el Símbolos de Wigner 3-j o el Coeficientes Racah .
Además, puedo añadir que existe una fórmula cerrada para ellos en $3$ dimensiones (derivada por Racah) y que esta fórmula no se conoce para dimensiones arbitrarias.
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