Razona si es cierto que:

Question

He visto muchas veces en libros o en Internet que$\sqrt{z^2-1} = i \sqrt{1-z^2}$ y no entiendo por qué eso es correcto. En general, no es cierto que$\sqrt{-z}=i \sqrt {z}$ y creo que lo usamos para mostrar lo anterior.

Creo que si$(1-z^2)$ tiene un argumento en$(-π,0]$, entonces tenemos ese$\sqrt{-z}=i \sqrt {z}$ pero no siempre es así, por ejemplo si$z=-2+i$ entonces$z^2=4-4i-1$ así que$1-z^2=-2+4i$ y ese no tiene el argumento que queremos.

¡Gracias de antemano!

Answer 1

El problema es la definición de la raíz cuadrada. Cada número complejo tiene 2 raíces cuadradas (excepto el 0), y estamos de acuerdo en que si el número es real y positivo, el signo de $\sqrt ?$ significa tomar el positivo de la raíz. Pero cuando estamos tratando con un general número complejo z, no tenemos una buena forma de definir cuál de las raíces se $\sqrt z$. Por lo general $z$, el eqation que escribió no está bien definido.

Sin embargo, es cierto que $\frac{\sqrt {1-z^2}}{\sqrt {z^2-1}}$ siempre va a ser $i$ o $-i$, no importa que la raíz de la que usted elija para esos números.