Serie Laurent $\exp(1/z)/(1-z)$

Question

Necesito ayuda para encontrar la expansión de Laurent y el residuo de $$\dfrac{\exp \left(\frac1z \right)}{(1-z)}$$

Hasta ahora he hecho $$\sum_{j=0}^\infty \frac{z^{-j}}{j!} \sum_{k=0}^\infty z^k = \sum_{j=0}^\infty \sum_{k=0}^\infty \frac{z^{k-j}}{j!}$$

pero no sé a dónde ir desde aquí. ¿Y también es posible utilizar el producto de Cauchy cuando una de las potencias es $<0$ y el otro es $>0$ ?

Answer 1

En cuanto al residuo: ir de "ingenuo" puede ser una buena idea $$\frac{1}{1-z}\,e^{\frac{1}{z}}=\left(1+z+z^2+z^3+...+z^n+...\right)\left(1+\frac{1}{z}+\frac{1}{2z^2}+\frac{1}{6z^3}+...+\frac{1}{n!z^n}+...\right)$$

Bueno, parece bastante fácil ver qué productos nos van a dar el coeficiente de $\,z^{-1}\,$ :

(primer término a la izquierda) por (segundo término a la derecha), (segundo a la izquierda) por (tercer a la derecha),...,(n-ésimo a la izquierda) por ((n+1)-ésimo a la derecha),..., así: $$\frac{1}{z}+\frac{1}{2z}+\frac{1}{6z}+...+\frac{1}{n!z}+...=\frac{1}{z}\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n!}=\frac{1}{z}(e-1)$$

Answer 2

Puedes reescribir la serie en la forma $$\sum_{j=0}^\infty \sum_{k=0}^\infty \frac{z^{k-j}}{j!}=\sum_{n=1}^{\infty}\left(\sum_{j=n}^{\infty}\frac{1}{j!}\right)z^{-n}+\sum_{n=0}^{\infty}\left(\sum_{j=0}^{\infty}\frac{1}{j!}\right)z^n=\sum_{n=1}^{\infty}\left(e-\sum_{j=0}^{n-1}\frac{1}{j!}\right)z^{-n}+\sum_{n=0}^{\infty}ez^n$$ Así que el residuo en $0$ es el coeficiente de $z^{-1}$ que es $\sum_{j=1}^\infty\frac{1}{j!}=e-1$ .

Answer 3

Otro enfoque es tomar el círculo $\gamma=\partial B_\rho(0)$ con $\rho\in(0,1)$ y obtener el residuo utilizando la definición integral que da como resultado

$$\begin{align*} \operatorname{Res}_{z=0}\left(\frac{\exp\left(\frac{1}{z}\right)}{1-z}\right) &= \frac{1}{2\pi\mathrm i}\oint_\gamma \exp\left(\frac{1}{z}\right)(1+z+z^2+\ldots)\,\mathrm dz\\ &=\frac{1}{2\pi\mathrm i}\oint_\gamma \exp\left(\frac{1}{z}\right)\,\mathrm dz + \frac{1}{2\pi\mathrm i}\oint_\gamma z\exp\left(\frac{1}{z}\right)\,\mathrm dz+\ldots\\ &=\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\ldots=\mathrm e-1. \end{align*}$$