¿Puedo encontrar una función de $y$ que satisface la relación $\dfrac{df(y)}{dx} = y^2(3y'+1)$

Question

Supongamos que tenemos una función desconocida $y=y(x)$ ¿es posible encontrar una función $f(y)$ tal que: $$\dfrac{df}{dx}= y^2\left(3\dfrac{dy}{dx}+1 \right)$$ ?

EDITAR: por supuesto si no hay $1$ en el lado derecho, la solución será $f(y) = y^3$

Agradezco cualquier ayuda

Gracias

Answer 1

Hace tiempo que no hago derivados, pero aquí está mi intento.

Sólo estamos tratando de resolver $\frac{d}{dx}[f(y)] = y^{2}(3\frac{dy}{dx} + 1) = 3y^{2}\frac{dy}{dx} + y^{2}$ . Por lo tanto, integra ambos lados por $x$ para encontrar $f(y)$ :

$$ \int 3y^{2}\frac{dy}{dx} + y^{2} dx = \int 3y^{2}\frac{dy}{dx} dx + \int y^{2} dx. $$

La primera integral es, por supuesto, $y^{3}$ como has mencionado. La segunda integral sólo se puede determinar una vez $y(x)$ se ha definido. Por lo tanto, podemos escribir

$$ f(y) = y^{3} + \int y^{2} dx. $$