Usando la suma y la multiplicación de vectores, es posible mostrar que la suma de los vectores de área para un tetraedro cerrado general en$\mathbb{R}^3$ (3 espacios) es cero.
Sugerencia: comience por escribir tres vectores:$\vec{a}$,$\vec{b}$ y$\vec{c}$ y obtenga relaciones para los otros lados en términos de$\vec{a}$,$\vec{b}$, y $\vec{c}$.
Por lo general tetraedro, podemos derivar que tres de los lados se describen por los vectores: $\vec{a}$, $\vec{b}$ y $\vec{c}$.
Entonces podemos escribir el área de vectores utilizando el exterior apuntando a la convención para la primera secundarios como: $$\vec{A}_{ab} = \frac{1}{2}\vec{a}\times\vec{b}$$
Del mismo modo, dos de los tres restantes área de vectores puede ser escrito: $$\vec{A}_{bc} = \frac{1}{2}\vec{b}\times\vec{c}$$ $$\vec{A}_{ca} = \frac{1}{2}\vec{c} \times \vec{a}$$
La última área se puede encontrar utilizando el hecho de que los vectores que definen los lados definir una figura cerrada y por lo tanto debe de suma cero, como se sugiere en la primera pista de por Azul: $$\vec{A}_{(c-a)(b-a)}=\frac{1}{2}(\vec{c}-\vec{a})\times(\vec{b}-\vec{a})$$
Sumando todos estos encontramos: $$ \frac{1}{2}\vec{a}\times\vec{b} + \frac{1}{2}\vec{b}\times\vec{c}+\frac{1}{2}\vec{c} \times \vec{a}+\frac{1}{2}(\vec{c}-\vec{a})\times(\vec{b}-\vec{a}) = \frac{1}{2}\left(\vec{a}\times\vec{b} + \vec{b}\times\vec{c}+\vec{c} \times \vec{a}+(\vec{c}-\vec{a})\times(\vec{b}-\vec{a})\right) = \vec{0}$$
aplicando las propiedades de la distribución, la simplificación de los productos cruzados y cancelación.
Si $\vec{n}$ es hacia afuera de la unidad normal a una cara $F$ en la continuación de la (firmado) área de la proyección de la $F$ sobre un plano con la unidad normal de $\vec{p}$ $\vec{n}\cdot\vec{p}$ veces el área de $F$. Para un poliedro cerrado, la proyección de las caras que apunta en una dirección que coincide exactamente con la proyección de las caras que apunta en la dirección opuesta.
Considere la posibilidad de cualquier prisma poligonal con eje paralelo a $\vec{p}$ cuya intersección con un poliedro son el rojo y el verde caras.
$\hspace{2cm}$
El área de la cara verde de veces $\vec{p}\cdot\vec{n}_g$ es el área de sección transversal del prisma. El área de la cara roja veces $\vec{p}\cdot\vec{n}_r$ es el negativo del área de la sección transversal de un prisma. Su suma es $0$, por lo que es la suma de todos los prismas paralelos a $\vec{p}$.
Como esto es cierto para cualquier $\vec{p}$, la suma del área de vectores de un general cerrado poliedro es $0$.
Idea basada en el teorema de Stokes
La suma de los vectores de área desaparece para cualquier sólido (generalizable a sólidos limitados por superficies no planas):
Imagina un campo de flujo constante. Luego, la integral de superficie del vector normal punteada en la dirección del flujo equivale a la acumulación nula dentro del sólido.
Podemos elegir cualquier orientación para el campo de flujo, por lo que el "vector normal promedio" es idénticamente cero.
Esto es handwavy, pero no se puede vencer por sucinto.
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