Calcular$\frac{d^ny}{dx^n}$ si$y = \frac{7}{1-x}$

Question

Me pregunto qué es$\frac{d^n}{dx^n}$ si$y = \frac{7}{1-x}$

Básicamente, entiendo que esto solicita una fórmula para calcular cualquier derivado de f (x) (corríjame si me equivoco). ¿Está eso relacionado con la teoría de Talylor? ¿Cómo termino con esa fórmula?

¡Gracias!

Answer 1

Tal vez pueda intentar examinar el resultado para los primeros valores de$n$ y luego probar una inducción en$n$.

Deje que$f$ sea la función$\displaystyle x\mapsto\frac{7}{1-x}$, uno tiene:$$f'(x)=\frac{7}{(1-x)^2},f''(x)=\frac{14}{(1-x)^3},f'''(x)=\frac{42}{(1-x)^4}.$ $ Se puede suponer que:$$\forall n\in\mathbb{N},f^{(n)}(x)=\frac{7(n!)}{(1-x)^{n+1}}.$ $ Puede probar esta afirmación usando la inducción en$n$ y Fórmula para diferenciar$1/u$.

Answer 2

Reclamación:$$f^{(n)}(x) = \frac{7(n!)}{(1-x)^{n+1}}$$ where $ f ^ {(n)} (x)$ denotes the $ n$-th derivative of $ y = f (x) $.

Entonces, suponiendo que$f^{(k)} = \frac{7(k!)}{(1-x)^{k+1}}$, diferencie esto para obtener:

PS

según sea necesario. Así que nuestro reclamo se mantiene para todos los$$f^{(k+1)} = 7(k!)(k+1) \cdot \frac{1}{(1-x)^{k+2}} = \frac{7(k+1)!}{(1-x)^{(k+1) + 1}}$ natural.

Esto nos permite anotar la expansión de McLaurin de$n$, ya que$f(x)$ $

Pero acabamos de calcular$$f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{1}{2!}f''(0)x^2 + \cdots + \frac{1}{n!}f^{(n)}(0)x^n + \cdots$, por lo que encontrar$f^{(n)}(x)$ sigue fácilmente.

(alternativamente, podrías haber anotado la serie de Taylor al notar que$f^{(n)}(0)$ es una serie geométrica)

Answer 3

Dejar $f(x)= \sum_{n\geq 0} a_n(x-c)^n$

Entonces $f^{(n)}(c)=n!a_n $,

\begin{align*} \frac{7}{1-x} &= \frac{7}{1-c-(x-c)} \\ &= \frac{7}{1-c}\frac{1}{1-\frac{x-c}{1-c}}\\ &= \frac{7}{1-c}\sum_{n\geq 0 } \frac{1}{(1-c)^n} (x-c)^n\\ &=\sum_{n\geq 0 } \frac{7}{(1-c)^{n+1}} (x-c)^n \end{align*}

Por lo tanto$$f(c)= \frac{7(n!)}{(1-c)^{n+1}}\, \forall c \in (\mathbb{R}-\{1\})$ $